Переправа
Из пункта , расположенного на одном берегу реки шириной , переправляется на противоположный берег небольшая моторная лодка. Берега реки параллельны друг другу. Скорость течения реки везде одинакова и равна . На противоположном берегу реки на одном перпендикуляре к берегам с пунктом расположен пункт . Скорость лодки относительно воды постоянна по величине и равна , а её вектор в течение всего времени переправы перпендикулярен прямой , где — центр лодки. В некоторый момент времени скорость лодки относительно берега перпендикулярна линии берега.
-
В каком направлении лодка начала движение из пункта : по течению или против течения? Ответ обоснуйте.
-
Найдите угол в момент времени .
-
На каком расстоянии от пункта будет находиться лодка, когда она достигнет противоположного берега реки?
-
На каком расстоянии от пункта будет находиться лодка в момент времени ?
-
Найдите радиус кривизны траектории лодки в системе отсчёта берега для двух случаев: а) в момент старта из пункта ; б) в момент времени .
Рассмотрим случай, когда лодка начинает движение по течению реки. Введём систему координат с началом в пункте , ось направим вдоль скорости течения, а ось направим к пункту . Пусть — расстояние от точки до центра лодки, . Тогда для движения «по течению» элементарные приращения за малое время :
В любой момент времени до достижения лодкой противоположного берега , поэтому
Поэтому скорость относительно берега не может быть направлена перпендикулярно линии берега. Отсюда делаем вывод, что лодка начала движение из пункта против течения.
Итак, лодка начинает движение против течения реки. Введём также систему координат с началом в пункте , ось направим вдоль скорости течения, а ось направим к пункту , — расстояние от точки до центра лодки, . Тогда для движения «против течения» элементарные приращения за малое время :
При движении перпендикулярно линии берега , тогда из уравнения (5) следует
Умножая уравнение (4) на 2 и складывая с уравнением (6), получим
Вычислим эту константу в момент начала движения , откуда . В момент достижения противоположного берега
В момент времени из геометрических соображений можно записать, что . Подставляя зависимость и значение угла в этот момент времени, получаем уравнение:
Для нахождения радиуса кривизны траектории найдём скорость и ускорение в нужных точках. Скорость относительно берега равна сумме скорости воды в реке и скорости лодки относительно воды: . После возведения в квадрат получаем:
Для точки старта , тогда скорость равна . Для момента времени угол между скоростями , тогда скорость равна .
Скорость лодки равна векторной сумме скоростей течения воды и лодки относительно воды. Скорость течения не меняется ни по модулю, ни по направлению. Скорость лодки не меняется по модулю, но меняется по направлению. Производная вектора скорости лодки по модулю равна произведению угловой скорости вращения вектора на модуль этого вектора. Получим выражение для ускорения лодки:
Для нахождения производной угла надо компоненту скорости, перпендикулярную отрезку , поделить на расстояние :
В момент выхода из пункта угол , поэтому:
В момент времени угол , значит:
В пункте отправления скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, поэтому найти радиус кривизны траектории можно следующим образом:
Для момента времени найдём проекцию ускорения на перпендикуляр к скорости движения, т. е. на ось :
тогда радиус кривизны траектории в этой точке: