Инженерная олимпиада 2023, 11 класс, задача 6
Кривошипно-кулисный механизм состоит из кривошипа - рычага, который может вращаться вокруг неподвижной оси , ползуна - детали, которая может двигаться вдоль направляющих, кулисы - стержня, шарнирно соединенного с ползуном , и двух поворотных втулок и , в которых кулиса может скользить без трения (см. рисунок). Кривошип вращается (в некоторых пределах) с постоянной угловой скоростью вокруг оси . Найти мгновенную скорость и мгновенное ускорение ползуна в тот момент времени, когда кривошип перпендикулярен отрезку . Длина кривошипа равна , (см. рисунок).
Пусть после положения, показанного на рисунке в условии задачи, прошел малый интервал времени . Найдем новое положение точки () и соответственно ее перемещение (см. рисунок). Поскольку поворотная втулка связана с кривошипом, а он в начальном положении параллелен направляющим , то перемещение поворотной втулки практически перпендикулярно отрезку и равно . Поэтому перемещение середины кулисы (которое будет практически параллельно отрезку , так как кулиса будет перемещаться в поворотной втулке ) можно найти как
где, как это следует из данных условия . Перемещение ползуна будет удвоенным по отношению к перемещению середины кулисы, поэтому
Отсюда находим скорость ползуна
Чтобы найти мгновенное ускорение ползуна, нужно найти изменение его скорости в рассматриваемый момент времени. Для этого рассмотрим два малых интервала - предшествующий положению, показанному на рисунке в условии, и последующий за ним. И теперь нужно найти разность перемещений точки за эти два интервала времени.
Поскольку в положении кривошип параллелен отрезку , перемещения середины кулисы и (см. рисунок) будут одинаковыми за оба эти интервала времени. А вот поскольку предшествующее перемещение находится дальше от отрезка , чем последующее, перемещения точки за эти два интервала времени будут разными.
За предшествующий интервал времени :
За последующий интервал времени :
(здесь использовано подобие треугольников и , а также и ). Вычитая разности перемещений (*) и (**) и деля их на (2 - поскольку мы нашли изменение скорости за интервал времени , а само перемещение за ), найдем мгновенное ускорение ползуна в рассматриваемый момент времени
Приводя дроби в скобках к общему знаменателю и пренебрегая в знаменателе малыми величинами по сравнению с , получим
А поскольку перемещение поворотной втулки равно , получаем окончательно
Правильная идея нахождения скорости ползуна - нахождение малого перемещения кривошипа и поворотной втулки , а затем перемещения ползуна - 1 балл
Правильная геометрия перемещений поворотной втулки и ползуна - 1 балл
Правильная скорость ползуна - 1 балл
Правильное идея нахождения ускорения ползуна вычисление разности перемещений ползуна до и после перпендикулярного расположения кривошипа - 1 балл
Правильное ответ для мгновенного ускорения ползуна - 1 балл.