Робофест 2025, 9 класс, задача 4
Вопрос. Два маленьких шарика брошены одновременно в большой камере с откачанным воздухом из одной точки с одинаковыми скоростями в одну сторону от вертикали: первый - под углом к горизонту, второй - под углом к горизонту. На каком расстоянии друг от друга окажутся шарики через после броска?
Задача. Два одинаковых орудия одновременно производят выстрелы снарядами с одинаковой начальной скоростью: первое - с возвышенности, второе - из точки у подножия этой возвышенности, которая находится на расстоянии по горизонтали от точки старта снаряда первого орудия. Высота точки старта первого снаряда над точкой старта второго равна . Второе орудие стреляет вертикально вверх, а направление выстрела первого орудия выбрано так, чтобы снаряды столкнулись на участке подъема второго снаряда. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите необходимое направление выстрела первого орудия. Как изменится это направление, если второе орудие перенести в точку той же высоты, но со смещением ?
Ответ на вопрос. Перейдем в систему отсчета, связанную с первым шариком. Поскольку в описанной ситуации оба шарика движутся с одинаковым ускорением свободного падения, то шарик 2 в этой системе отсчета движется равномерно и прямолинейно, то есть относительная скорость шариков равна ее начальному значению. При построении векторного треугольника скоростей заметно, что две стороны в нем одинаковы, и угол между ними равен . Значит, этот треугольник - правильный, и скорость удаления шариков друг от друга равна по величине их одинаковой начальной скорости . Значит, расстояние между шариками
Решение задачи. Пусть - величина начальной скорости снарядов, а первое орудие производит выстрел в сторону второго орудия под углом относительно горизонта. Тогда за время полета до столкновения снаряд первого орудия пролетит по горизонтали в точности расстояние . С другой стороны, снаряды в конце полета должны оказаться на одинаковой высоте. Значит,
Подставляя сюда из первого уравнения, получаем
Если ввести вспомогательный угол , такой что
то последнее уравнение можно записать как
Значит,
Например, для первых выстрелов . Во втором случае , то есть нужно будет стрелять ниже линии горизонта.
Ответ. В первом случае нужно стрелять выше горизонта на , а во втором - ниже на .
Для решения используется переход в сопутствующую свободно падающую систему отсчета.
Указано, что угол между векторами начальных скоростей равен .
Установлено, что относительная скорость постоянна.
Установлено, что относительная скорость равна начальной скорости шариков.
Дан ответ .
Правильно записано условие совпадения конечных положений в проекции на горизонтальную ось.
Правильно записано условие совпадения конечных положений в проекции на вертикальную ось.
Получено верное уравнение на угол вылета первого снаряда.
Найдена необходимое значение угла вылета первого снаряда для первого случая.
Указано, что во втором случае необходим вылет первого снаряда ниже уровня горизонта.
Найдена необходимое значение угла вылета первого снаряда для второго случая.