Сингулярность

Первый способ

Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, движущуюся влево с ускорением . В этой системе цилиндр покоится, и на него действует эффективная сила тяжести:

Заметим, что с увеличением ускорения угол между вертикалью и вектором увеличивается.

Расставим силы, действующие на цилиндр в этой системе отсчёта:

• сила реакции со стороны горизонтальной поверхности, направленная под углом к вертикали. , так как происходит движение с проскальзыванием;
• сила реакции со стороны доски направлена под некоторым углом к радиусу, проведённому в точку касания.

Случай 1: , линия действия силы проходит левее точки контакта цилиндра с доской (точки ). Для равновесия цилиндра необходимо, чтобы силы , и пересекались в одной точке (по теореме о трёх непараллельных силах). Угол фиксирован, а угол увеличивается при уменьшении ускорения . Максимальное значение угла равно :

Из геометрии задачи следует, что при угол между эффективной силой тяжести и вертикалью равен . Следовательно:

С увеличением ускорения угол уменьшается, пока и не станут направленными вдоль одной прямой. Дальнейшее увеличение приведёт к нарушению равновесия, и цилиндр начнёт закатываться на доску. При этом сила реакции станет равной нулю. Следовательно:

Случай 2: . Линия действия силы проходит ниже точки контакта цилиндра с доской.

По теореме о трёх непараллельных силах, с учётом того, что , получаем два возможных диапазона для угла , при которых три силы пересекаются в одной точке:

• и вектор направлен в точку пересечения трёх сил;
• и продолжение вектора в обратном направлении проходит через точку пересечения трёх сил (см. рис.).

При все три вектора сил направлены в одну полуплоскость, следовательно, их сумма не может быть равна нулю. Значит, равновесие в этом случае невозможно. Для по аналогии с первым случаем получаем

Случай 3: .

, линия действия силы проходит через точку . Тогда либо линии действия сил и совпадают, либо пересекаются в точке . Первое невозможно, так как в этом случае для выполнения условия равновесия должна быть параллельна и , чего быть не может. Значит, линии действия сил и пересекаются в точке . Тогда по теореме о трёх непараллельных силах тоже направлена в точку , откуда однозначно находим значение ускорения:

Второй способ

Расставим силы, действующие на цилиндр, и запишем теорему о движении центра масс для цилиндра в проекциях на горизонтальное и вертикальное направления:

Из условия задачи можем найти угол :

Так как цилиндр скользит по горизонтальной поверхности, сила трения равна соответственно:

Для того чтобы цилиндр не вращался, должно выполняться правило моментов относительно его центра:

Формально, предыдущее уравнение необходимо писать в системе отсчёта центра масс цилиндра. Но при переходе в неинерциальные системы отсчёта, силы инерции прикладываются к центру масс тела, соответственно не создают момента сил относительно него. Подставим значения сил трения в систему уравнений:

Для выполнения условия равноускоренного движения цилиндра без вращения необходимо выполнение следующих соотношений:

Первое условие гарантирует контакт цилиндра с горизонтальной поверхностью, второе гарантирует отсутствие проскальзывания между цилиндром и доской. Из уравнения на вертикальную ось выразим :

Подставим значение в уравнение на горизонтальную ось:

Сгруппируем слагаемые с с одной стороны равенства:

Домножим обе стороны равенства на :

откуда получаем выражение для значения :

Подставляя значение для угла :

Подставляя это выражение в выражение для силы :

Теперь, чтобы получить возможные значения для , нам необходимо проанализировать неравенство . Видим, что в знаменателе и есть сингулярность при определённом значении коэффициента трения . Рассмотрим по отдельности три случая.

Случай 1: .

:

откуда получаем

Случай 2: .

:

откуда получаем . Первое условие более строгое, чем второе, откуда получаем ответ:

Случай 3: .

Этот случай нельзя напрямую проанализировать из полученных уравнений, т. к. знаменатель дробей обращается в ноль. Чтобы получить ответ для этого случая, вернёмся к исходной системе уравнений и подставим значение угла и коэффициента трения :

Из первого уравнения системы получаем:

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

откуда находим единственное решение системы: