Робофест 2025, 11 класс, задача 1
Вопрос. Поверхность гладкой осесимметричной лунки в вертикальном сечении описывается формулой (см. рисунок). По этой поверхности скользит маленькая шайба, совершающая малые гармонические колебания. Найдите их период. Ускорение свободного падения .
Задача. У лунки с точно таким же профилем, как в вопросе, половина поверхности гладкая, а на половине коэффициент трения , причем граница раздела перпендикулярна плоскости движения шайбы. Шайбу отпускают без начальной скорости из положения на высоте над нижней точкой лунки на гладкой ее половине, и она доезжает до этой нижней точки за время . Через какое после прохождения нижней точки лунки шайба впервые остановится? Какой будет скорость шайбы спустя время после начала движения по шероховатой части лунки?
Ответ на вопрос. При отклонении шайбы от положения равновесия ее возвращает назад горизонтальная составляющая силы нормальной реакции лунки. Для малых отклонений
Поэтому уравнение движения для малых колебаний сводится к уравнению гармонических колебаний:
и период равен
Решение задачи. На гладком участке шайба наберет скорость
Время движения от максимального отклонения до положения равновесия отвечает четверти периода:
На шероховатой части появляется проекция силы трения скольжения , поэтому
Если записать , то
и
Из условий и находим и . Следовательно,
Первая остановка отвечает , то есть
После остановки шайба оказывается в точке . Возвращающая сила там меньше максимальной силы трения покоя, поэтому шайба больше не придет в движение. Значит, спустя время после начала движения по шероховатой части ее скорость равна нулю.
Ответ. , .
Правильно указана возвращающая сила, обеспечивающая колебания шайбы.
Правильно записано уравнение движения.
В уравнении малых колебаний использовано .
В уравнении малых колебаний использовано, что .
Уравнение движения приведено к виду уравнения гармонических колебаний.
Получена правильная формула для периода.
Правильно определена скорость шайбы после скатывания.
Указано, что .
Записано уравнение движения по шероховатой части лунки с учетом силы трения скольжения.
Это уравнение приведено к виду уравнения гармонических колебаний для скорости.
Правильно найдено решение для или .
Получена правильная формула для .
Получено правильное численное значение .
Указано, что после первой остановки шайба не будет двигаться.
Дан ответ .