Робофест 2024, 11 класс, задача 1
Вопрос. По горизонтальной поверхности скользит тонкий однородный стержень длины с массой . В некоторый момент времени мгновенная ось вращения этого стержня пересекает его в точке расстоянии от одного из его концов. Коэффициент трения между стержнем и поверхностью равен . Найдите величину момента сил трения, действующих на стержень со стороны поверхности в этот момент времени. Ускорение свободного падения равно .
Задача. Для поворота оси вращения можно использовать фрикционную передачу (за счет трения). В конструкции, показанной на рисунке, два валика с шероховатой боковой поверхностью, имеющие форму усеченных конусов, равномерно прижаты друг к другу по линии соприкосновения. Оси вращения валиков взаимно-перпендикулярны и зафиксированы в этом положении с помощью шарикоподшипников. Конус с меньшим радиусом основания вращают равномерно с помощью внешнего привода с угловой скоростью , конус с большим радиусом основания не нагружен и в установившемся режиме вращается с некоторой постоянной угловой скоростью. Найдите эту угловую скорость.
Ответ
Ответ на вопрос. Разделим мысленно стержень на две части, лежащие по разные стороны от мгновенной оси вращения. Так как на горизонтальной поверхности стержень прижат к ней равномерно, то на каждую часть действует часть полной силы трения скольжения, соответствующая доле поверхности площади опоры этой части. Значит, величины сил трения скольжения для этих частей стержня равны и . Точками приложения этих сил являются середины частей стержня, так что их плечи по отношению к мгновенной оси равны и соответственно. Обе эти силы тормозят вращение стержня, и суммарный момент сил равен
Решение задачи. Так как «нижний» валик вращается в установившемся режиме с постоянной угловой скоростью, то сумма приложенных к нему моментов сил (а это моменты сил трения, действующих со стороны ведущего «верхнего» валика) равна нулю. Суммарный момент этих сил обнуляется из-за изменения радиусов поверхностей. Если ввести координату сечений валиков, то можно заметить, что с ростом радиус вращения точки поверхности «верхнего» валика убывает по закону
а «нижнего» — по закону
Поэтому у разных концов валиков соотношение линейных скоростей их поверхностей различно, то есть вращение валиков происходит с проскальзыванием. Различно и направление проскальзывания, а значит, различно направление сил трения!
Поскольку на каждый интервал линии соприкосновения с проекцией действует одинаковая по величине сила прижатия, которая составляет от полной силы долю, пропорциональную , то величины сил трения скольжения, действующих на участки с разным направлением проскальзывания, равны
и
где — координата сечения, в котором качение валиков друг по другу происходит без проскальзывания. Точка приложения каждой из этих сил соответствует середине соответствующего участка соприкосновения, так что плечи этих сил
и
соответственно. Значит, уравнение равновесия моментов сил имеет вид
Сокращая общие множители, приходим к уравнению относительно величины :
(мы выбрали корень меньше ). Радиусы валиков в этом сечении
и
а условие отсутствия проскальзывания позволяет найти отношение угловых скоростей:
Итак,
Ответ. .