Робофест 2023, 11 класс, задача 3
Вопрос. Ион с удельным зарядом влетел в постоянное магнитное поле с индукцией , двигаясь перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью . Определите радиус траектории этого иона.
Задача. Ионная пушка выстреливает ионы в направлении экрана (перпендикулярно ему) каждый раз с одной и той же начальной скоростью . Удельный заряд иона , в области его движения, в вакууме, создано однородное магнитное поле с индукцией . Полет каждого иона до экрана занимал время . Затем в области движения ионов создали однородное электрическое поле, направленное перпендикулярно векторам индукции и начальной скорости. После этого время движения иона до экрана уменьшилось в два раза. Найдите напряженность созданного электрического поля.
Ответ на вопрос. Центростремительное ускорение иона создается силой Лоренца, то есть
Из этого уравнения видно, что
Решение задачи. До включения электрического поля ионы двигались с угловой скоростью
по окружности радиуса
Пусть — расстояние от точки старта ионов до экрана. Тогда из геометрии (см. рисунок, красный пунктир), с учетом того, что угол поворота иона за время движения , находим, что
После включения электрического поля уравнение движения иона принимает вид
Удобно перейти в «дрейфующую» Систему Отсчета, которая движется относительно исходной с постоянной скоростью
совпадающей по направлению с . В этой СО и , то есть уравнение движения принимает вид
то есть совпадает с уравнение движения иона только в магнитном поле, равном прежнему! Значит, ион в этой СО летит с прежней угловой скоростью
по новой окружности, а экран «гонится» за ним со скоростью . Введем обозначение
(учитывая, что время движения иона изменилось заметно, мы далее предполагаем, что ; отметим, что наши формулы будут справедливы и при ). Тогда стартовая скорость иона , и радиус новой окружности
Поэтому новая формула для — это
(см. рисунок, красные линии).
Приравнивая оба выражения для («старое» и «новое»), получаем уравнение
Подставляя числовые значения с учетом
находим (как видно, и наше предположение оправдалось; можно обратить внимание, что с высокой точностью и , что упрощает расчеты). Следовательно,
Ответ. . «Зачетный» диапазон .
Используется правильное выражение для силы Лоренца
Правильно записано уравнение движения иона в магнитном поле
Получена правильная формула для
Дан правильный численный ответ
Правильно записана формула, связывающая расстояние до экрана с временем движения до включения электрического поля
Используется переход в «дрейфующую» СО
Указано, что в «дрейфующей» СО частица снова совершает ларморовское вращение
Правильно записана формула, связывающая расстояние до экрана с временем движения после включения электрического поля
Записано правильное уравнение, содержащее только в качестве неизвестной
Получен правильный аналитический ответ (для или другой однозначно связанной с ним величины — например, )
Получен численный ответ в диапазоне