Робофест 2023, 11 класс, задача 3

Ответ на вопрос. Центростремительное ускорение иона создается силой Лоренца, то есть

Из этого уравнения видно, что

Решение задачи. До включения электрического поля ионы двигались с угловой скоростью

по окружности радиуса

Пусть — расстояние от точки старта ионов до экрана. Тогда из геометрии (см. рисунок, красный пунктир), с учетом того, что угол поворота иона за время движения , находим, что

После включения электрического поля уравнение движения иона принимает вид

Удобно перейти в «дрейфующую» Систему Отсчета, которая движется относительно исходной с постоянной скоростью

совпадающей по направлению с . В этой СО и , то есть уравнение движения принимает вид

то есть совпадает с уравнение движения иона только в магнитном поле, равном прежнему! Значит, ион в этой СО летит с прежней угловой скоростью

по новой окружности, а экран «гонится» за ним со скоростью . Введем обозначение

(учитывая, что время движения иона изменилось заметно, мы далее предполагаем, что ; отметим, что наши формулы будут справедливы и при ). Тогда стартовая скорость иона , и радиус новой окружности

Поэтому новая формула для — это

(см. рисунок, красные линии).

Приравнивая оба выражения для («старое» и «новое»), получаем уравнение

Подставляя числовые значения с учетом

находим (как видно, и наше предположение оправдалось; можно обратить внимание, что с высокой точностью и , что упрощает расчеты). Следовательно,

Ответ. . «Зачетный» диапазон .