Инженерная олимпиада 2023, 11 класс, задача 4

Пусть сила нормальной реакции между стержнем и шаром (которая зависит от массы стержня и угла ) равна . Силы, действующие на шар, показаны на рисунке.

Здесь сила тяжести шара, - сила реакции горизонтальной поверхности, и - силы трения между шаром и стержнем и шаром и горизонтальной поверхностью соответственно. Поскольку силы тяжести и реакции приложены к центру шара, их моменты относительно центра равны нулю, и из условия моментов относительно центра шара заключаем, что в равновесии силы трения равны друг другу. Поэтому условие равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дает

Из этих формул находим

При этом условия отсутствия проскальзывания в точках касания шара и стержня, шара и горизонтальной поверхности

дают условия на угол в равновесии системы. Из этих формул видим, что с ростом угла (или с уменьшением коэффициента трения) первым нарушается первое условие, которое вместе с первой формулой (*) и определяет равновесное значение угла наклона стержня

Используя формулу для тангенса половинного угла эту условие можно привести к виду

Отметим, что из проведенного анализа можно сделать вывод, как начнет двигаться шар при увеличении угла или уменьшении коэффициента трения. Поскольку первым нарушается условие отсутствия проскальзывания между шаром и стержнем, при увеличении угла или уменьшении коэффициента трения шар начнет катиться по горизонтальной поверхности, не проскальзывая относительно нее. При этом такое положение будет иметь место при любых значениях силы . Т.е. даже бесконечно легкий стержень заставит катиться шар при нарушении условия (**). Это связано с пренебрежением трением качения (которое мы использовали в решении), которое в реальной ситуации не позволит катиться шару.