Инженерная олимпиада 2020, 11 класс, задача 5
Два стержня одинаковой длины массой и одинаковой длины скрепили шарниром и поставили на шероховатый пол (модель лестницы-стремянки). Коэффициент трения между стержнями и полом одинаков и равен . При каком минимальном угле между стержнями и полом конструкция будет в равновесии? Какой стержень начнет скользить раньше при уменьшении угла - легкий или тяжелый? Трение в шарнире мало.
Ответ
Рассмотрим условие равновесие всей лестницы целиком. Уравнение моментов относительно точки опоры левого стержня дает
где - длина каждого стержня. Отсюда получаем
Аналогично, из уравнения моментов относительно правой опоры, получаем
Поскольку половинки лестницы соединены шарнирно, в точке соединения не создается сосредоточенного момента, и можно записать уравнение моментов для правой и левой половинок лестницы относительно шарнира. Например, для правой половинки имеем
Правая половинка лестницы будет оставаться в равновесии при выполнении условия
Или
Аналогично находим, что левая половинка лестницы будет оставаться в равновесии при выполнении условия
Поскольку тангенс угла монотонно увеличивается на промежутке от до , то при уменьшении угла условие (**) нарушится раньше, чем условие (*). Поэтому раньше начнет скользить левая (легкая) половинка лестницы. В равновесии конструкция будет при углах