Накачивая шину
В задаче рассматривается физическая модель, описывающая некоторые особенности процесса накачивания камеры велосипедного колеса. Объём камеры считается неизменным. Начальное давление воздуха в камере равно при температуре окружающей среды . После накачивания воздух в камере должен создавать давление при той же температуре . Воздух считается идеальным двухатомным газом ().
А) В этом пункте камеру соединяют через ниппель с сосудом очень большого объёма (), который содержит воздух при температуре и таком давлении (), что после заполнения камеры и её охлаждения до температуры давление воздуха в камере становится равно . Ниппель пропускает воздух в камеру, до тех пор пока давление в ней не сравняется с давлением в сосуде, после этого ниппель закрывается и обратно воздух не выпускает. «Проталкивание» в камеру порции воздуха из сосуда происходит очень быстро, поэтому можно считать, что процесс «проталкивания» осуществляется без теплообмена между этой порцией и воздухом, остающимся в сосуде, а также между воздухом в камере и окружающей средой. В результате температура и давление воздуха в камере повышаются до значений и . Через некоторое время после этого температура воздуха в камере сравнивается с температурой окружающей среды , давление в камере становится равно . Считая известными значения , и , определите и .
Б) Теперь представим себе, что камера накачивается воздухом при помощи ручного насоса. В начале каждого цикла цилиндр насоса объёмом () заполняется воздухом при атмосферном давлении и температуре . Пусть в начале -го цикла давление в камере равно . На -м цикле воздух в цилиндре сначала адиабатически сжимается поршнем от давления до давления , а затем «проталкивается» через ниппель при постоянном давлении без теплообмена, как в пункте А) задачи. После этого открывается впускной клапан, через который в цилиндр насоса поступает воздух из окружающей среды при давлении , поршень отодвигается в исходное положение, и цилиндр заполняется атмосферным воздухом при давлении . На этом цикл заканчивается. Естественно, придётся совершить довольно много () таких циклов «проталкивания» воздуха в камеру, для того чтобы после установления температуры давление в камере стало равно . Поскольку накачивание камеры происходит очень быстро, теплообмен между воздухом в камере и окружающей средой начинается уже после окончания работы насоса.
Б1) Сколько циклов необходимо совершить, чтобы накачать камеру? Параметры , , и считаются известными.
Б2) Какую работу совершает поршень на -м цикле? Ответ выразите через , и .
Б3) Определите изменение давления в камере на -м цикле , считая , , и известными.
Б4) Для того чтобы найти давление в камере после окончания -го цикла, используем следующий приём. Соотношение, полученное в предыдущем пункте, можно представить в виде
(14)
где — некоторая функция , — коэффициент, не зависящий от ( и вам известны, если вы сделали пункт Б3). Просуммируем выражения, даваемые формулой (14), от до :
(15)
Суммирование в формуле (14) можно приближённо заменить на интегрирование:
Определите давление в камере после -го цикла. Параметры , , и считаются известными.
Б5) Вычислите и , считая известными значения параметров , и .
Указание. Значение определённого интеграла от степенной функции даётся формулой
Ответ
Решение
А) Для того, чтобы при температуре окружающей среды давление в камере оказалось равно , следует «протолкнуть» в камеру количество воздуха
Этот воздух занимал в сосуде объём
«Проталкивая» порцию воздуха в камеру, силы давления совершают работу
(16)
Можно считать, что давление в сосуде почти не меняется, ведь его объём очень большой. За счёт работы увеличивается внутренняя энергия воздуха в камере и воздуха в проталкиваемой порции. Поскольку теплообмена нет, из формулы (16) следует соотношение
(17)
где — начальное количество воздуха в камере. Для конечного состояния воздуха в камере (после охлаждения до температуры ) справедливо уравнение состояния
(18)
Подставляя количество вещества из формулы (18) в соотношение (17) получаем уравнение
из которого следует ответ для температуры
Давление находится из закона Шарля:
Б1) Количество циклов «проталкивания» можно определить, зная начальное и конечное количество газа в камере. За один цикл в камеру проталкивается воздух из насоса в количестве , поэтому количество циклов равно
(19)
Б2) При адиабатическом сжатии от давления до давления поршнем совершается работа, равная изменению внутренней энергии сжимаемого в насосе воздуха:
При помощи уравнения адиабаты выражение для работы при адиабатическом сжатии может быть записано в виде
(20)
Далее работа совершается при постоянном давлении. Она равна
(21)
Суммируя работы (20) и (21), получаем для работы на -м цикле формулу
(22)
Б3) За счёт работы изменяется внутренняя энергия того воздуха, который уже был в камере на момент начала -го цикла и той порции, которая «проталкивается» в камеру. Изменение внутренней энергии равно
(23)
Приравнивая изменение внутренней энергии (23) и работу (22), с учётом равенства имеем формулу
(24)
Б4) Осуществляя интегрирование формулы (24), как описано в формулировке задачи, получаем соотношение
Сделав преобразования в полученной формуле, находим ответ
(25)
Б5) Подставляем в формулу для давления (25) количество из формулы (19), находим максимальное давление
Максимальную температуру можно найти из закона Шарля, как при ответе на вопрос пункта А), получится формула
Ответ: А) , ; Б1) ; Б2) ; Б3) ; Б4) ; Б5) , .