Накачивая шину
В задаче рассматривается физическая модель, описывающая некоторые особенности процесса накачивания камеры велосипедного колеса. Объём камеры считается неизменным. Начальное давление воздуха в камере равно при температуре окружающей среды . После накачивания воздух в камере должен создавать давление при той же температуре . Воздух считается идеальным двухатомным газом ().
А) В этом пункте камеру соединяют через ниппель с сосудом очень большого объёма (), который содержит воздух при температуре и таком давлении (), что после заполнения камеры и её охлаждения до температуры давление воздуха в камере становится равно . Ниппель пропускает воздух в камеру, до тех пор пока давление в ней не сравняется с давлением в сосуде, после этого ниппель закрывается и обратно воздух не выпускает. «Проталкивание» в камеру порции воздуха из сосуда происходит очень быстро, поэтому можно считать, что процесс «проталкивания» осуществляется без теплообмена между этой порцией и воздухом, остающимся в сосуде, а также между воздухом в камере и окружающей средой. В результате температура и давление воздуха в камере повышаются до значений и . Через некоторое время после этого температура воздуха в камере сравнивается с температурой окружающей среды , давление в камере становится равно . Считая известными значения , и , определите и .
Б) Теперь представим себе, что камера накачивается воздухом при помощи ручного насоса. В начале каждого цикла цилиндр насоса объёмом () заполняется воздухом при атмосферном давлении и температуре . Пусть в начале -го цикла давление в камере равно . На -м цикле воздух в цилиндре сначала адиабатически сжимается поршнем от давления до давления , а затем «проталкивается» через ниппель при постоянном давлении без теплообмена, как в пункте А) задачи. После этого открывается впускной клапан, через который в цилиндр насоса поступает воздух из окружающей среды при давлении , поршень отодвигается в исходное положение, и цилиндр заполняется атмосферным воздухом при давлении . На этом цикл заканчивается. Естественно, придётся совершить довольно много () таких циклов «проталкивания» воздуха в камеру, для того чтобы после установления температуры давление в камере стало равно . Поскольку накачивание камеры происходит очень быстро, теплообмен между воздухом в камере и окружающей средой начинается уже после окончания работы насоса.
Б1) Сколько циклов необходимо совершить, чтобы накачать камеру? Параметры , , и считаются известными.
Б2) Какую работу совершает поршень на -м цикле? Ответ выразите через , и .
Б3) Определите изменение давления в камере на -м цикле , считая , , и известными.
Б4) Для того чтобы найти давление в камере после окончания -го цикла, используем следующий приём. Соотношение, полученное в предыдущем пункте, можно представить в виде
(14)
где — некоторая функция , — коэффициент, не зависящий от ( и вам известны, если вы сделали пункт Б3). Просуммируем выражения, даваемые формулой (14), от до :
(15)
Суммирование в формуле (14) можно приближённо заменить на интегрирование:
Определите давление в камере после -го цикла. Параметры , , и считаются известными.
Б5) Вычислите и , считая известными значения параметров , и .
Указание. Значение определённого интеграла от степенной функции даётся формулой
Решение
А) Для того, чтобы при температуре окружающей среды давление в камере оказалось равно , следует «протолкнуть» в камеру количество воздуха
Этот воздух занимал в сосуде объём
«Проталкивая» порцию воздуха в камеру, силы давления совершают работу
(16)
Можно считать, что давление в сосуде почти не меняется, ведь его объём очень большой. За счёт работы увеличивается внутренняя энергия воздуха в камере и воздуха в проталкиваемой порции. Поскольку теплообмена нет, из формулы (16) следует соотношение
(17)
где — начальное количество воздуха в камере. Для конечного состояния воздуха в камере (после охлаждения до температуры ) справедливо уравнение состояния
(18)
Подставляя количество вещества из формулы (18) в соотношение (17) получаем уравнение
из которого следует ответ для температуры
Давление находится из закона Шарля:
Б1) Количество циклов «проталкивания» можно определить, зная начальное и конечное количество газа в камере. За один цикл в камеру проталкивается воздух из насоса в количестве , поэтому количество циклов равно
(19)
Б2) При адиабатическом сжатии от давления до давления поршнем совершается работа, равная изменению внутренней энергии сжимаемого в насосе воздуха:
При помощи уравнения адиабаты выражение для работы при адиабатическом сжатии может быть записано в виде
(20)
Далее работа совершается при постоянном давлении. Она равна
(21)
Суммируя работы (20) и (21), получаем для работы на -м цикле формулу
(22)
Б3) За счёт работы изменяется внутренняя энергия того воздуха, который уже был в камере на момент начала -го цикла и той порции, которая «проталкивается» в камеру. Изменение внутренней энергии равно
(23)
Приравнивая изменение внутренней энергии (23) и работу (22), с учётом равенства имеем формулу
(24)
Б4) Осуществляя интегрирование формулы (24), как описано в формулировке задачи, получаем соотношение
Сделав преобразования в полученной формуле, находим ответ
(25)
Б5) Подставляем в формулу для давления (25) количество из формулы (19), находим максимальное давление
Максимальную температуру можно найти из закона Шарля, как при ответе на вопрос пункта А), получится формула
Ответ: А) , ; Б1) ; Б2) ; Б3) ; Б4) ; Б5) , .
Найдено количество вещества, которое необходимо добавить в камеру для достижения требуемых в конце процесса давления и температуры .
Высказывается мысль о том, что внутренняя энергия содержимого камеры увеличивается за счёт работы, совершаемой силами давления по «проталкиванию» порции воздуха в сосуд. Записывается формула , где — объём, занимаемый порцией проталкиваемого газа в сосуде.
Получена формула , отражающая равенство изменения внутренней энергии и работы, совершаемой силами давления, или аналогичная.
Найдена верная формула для максимальной температуры .
Найдено верное числовое значение .
Найдена верная формула для максимального давления .
Найдено верное числовое значение максимального давления .
Получена верная формула для работы при адиабатическом сжатии или аналогичная.
Получена верная формула для работы при постоянном давлении или аналогичная.
Получен верный ответ для работы за цикл.
Предлагается приравнять изменение внутренней энергии воздуха в камере и закачиваемой порции работе на -м цикле.
Получена верная формула для изменения давления .