Задача трёх тел
В далёкой-далёкой галактике станции инопланетян способны притягивать космические корабли, находящиеся в зоне их действия. Сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию от станции до корабля:
где — коэффициент силы станции.
Три такие станции расположены в вершинах прямоугольного треугольника с углом и гипотенузой длиной . Две станции, находящиеся в вершинах острых углов, характеризуются коэффициентом силы , а станция в вершине прямого угла — коэффициентом силы .
В пунктах 1—3 космические станции неподвижны.
- Определите расстояния от каждой станции до точки, в которой корабль будет находиться в равновесии.
В начальный момент времени космический корабль массой находится на середине гипотенузы треугольника, в вершинах которого находятся станции. Скорость корабля равна нулю, двигатели не работают.
-
Определите максимальную скорость корабля в процессе дальнейшего движения.
-
На какое минимальное расстояние в процессе движения корабль приблизится к станции, находящейся в вершине прямого угла?
Космический корабль вновь оказывается в середине гипотенузы с нулевой начальной скоростью. Однако в этот момент времени станция в вершине прямого угла начинает двигаться с постоянной скоростью вдоль прямой, перпендикулярной начальному направлению на корабль (см. рисунок). Станции, находящиеся в вершинах острых углов, остаются неподвижными.
- Спустя какое время и на каком расстоянии от начального положения корабль впервые остановится?
Примечание: все объекты можно считать точечными, на корабль не действуют другие силы, кроме сил притяжения со стороны станций.
Первый способ
Рассмотрим положение корабля в точке , расстояния до которой от вершин , и прямоугольного треугольника равны , и соответственно. Введём векторы:
Суммарная сила, действующая на корабль в положении равновесия, равна нулю:
Выразим и через и подставим в полученное выражение:
Второй способ
Покажем, что совместное действие двух станций, расположенных в вершинах острых углов треугольника, эквивалентно действию одной станции с коэффициентом силы , находящейся на середине гипотенузы. На рисунке эти две станции расположены в точках и , а космический корабль — в точке . Сила, действующая на объект со стороны станций и , выражается как:
Учитывая, что
подставим эти выражения в формулу для силы:
Из полученной формулы следует, что результирующая сила в точности равна силе, создаваемой станцией с коэффициентом , расположенной в середине отрезка . Таким образом, в дальнейшем мы можем считать, что на корабль действуют две станции:
- одна с коэффициентом находится в вершине прямого угла (станция );
- другая с коэффициентом находится на середине гипотенузы (станция ).
Далее можем заменить воздействие этих станций воздействием пружин, длины которых в недеформированном состоянии пренебрежимо малы (равны нулю), а коэффициенты жёсткости равны (см. рисунок). С учётом коэффициентов жёсткости эквивалентных пружин легко определить положение точки равновесия для корабля — точка, которая делит медиану пополам.
Третий способ
Для нахождения положения равновесия рассмотрим систему из трёх точечных масс, расположенных в вершинах треугольника: по в вершинах острых углов и — в вершине прямого угла. Тогда радиус-вектор, проведённый из произвольной точки до центра масс, будет определяться по формуле:
В случае, если является центром масс системы, то
что совпадает с выражением, полученным из условия равновесия корабля. Найдём координаты центра масс системы, приняв за начало отсчёта вершину :
Далее по теореме Пифагора определяем расстояния от точки равновесия до станций:
В начальный момент времени космический корабль покоится, а суммарная сила, действующая на него со стороны станций, направлена вдоль отрезка . Это означает, что ускорение корабля также направлено вдоль , и, следовательно, корабль будет двигаться прямолинейно вдоль этого отрезка и достигнет максимальной скорости в точке равновесия.
Первый способ
Посмотрим на отклонение корабля от положения равновесия на вектор . Изменение суммарной силы со стороны станций равно:
Значит, на корабль действует такая же сила, как от пружины с коэффициентом упругости с нулевой начальной длиной, натянутой между точками и . Тогда при перемещении корабля от середины гипотенузы до точки эта пружина совершит над кораблём работу:
Второй способ
Воспользуемся аналогией с двумя пружинами и запишем закон сохранения энергии:
Третий способ
Элементарная работа силы, действующей со стороны некоторой станции, определяется выражением:
Максимальная скорость корабля будет достигнута при прохождении положения равновесия. Запишем закон сохранения энергии для этого случая:
Любым из трёх способов получаем ответ:
Первый способ
Как мы показали ранее, сила, действующая на корабль, аналогична силе со стороны пружины с началом в точке . Тогда движение корабля — колебания вдоль отрезка . Корабль, пролетев точку , полетит к точке и остановится около неё.
Второй способ
При движении корабля под действием пары пружин он будет двигаться вдоль отрезка , останавливаясь в точке и в точке , где потенциальная энергия системы пружин равна её энергии при положении корабля в точке . Это условие можно записать в виде уравнения:
где — расстояние от точки до точки . Полученное выражение сводится к квадратному уравнению:
решая которое, получаем два корня:
Корень соответствует точке на середине гипотенузы, где корабль находился в начальный момент времени. Таким образом, минимальное расстояние от корабля до точки равно нулю.
Как мы показали в решении пункта 2, сила, действующая на корабль, равна , где — центр масс системы с точечными массами , расположенными в вершинах , и . В отличие от предыдущих пунктов, точка не покоится. По свойству центра масс:
Следовательно, скорость точки постоянна по направлению и равна по модулю. Для окончательного упрощения системы перейдём в инерциальную систему отсчёта точки .
В этой системе отсчёта начальная скорость точки направлена перпендикулярно пружине. Заметим, что — это скорость движения по окружности радиусом под действием силы :
Следовательно, в системе отсчёта точки корабль будет равномерно двигаться по окружности радиусом со скоростью , найденной в пункте 2.
Когда корабль совершит один оборот вокруг точки , его скорость в лабораторной системе отсчёта впервые обнулится. Это произойдёт через время:
В системе отсчёта точки перемещение корабля за один период равно нулю. Значит, в ЛСО корабль сместился на такое же расстояние, что и точка :
Обратим внимание, что траектория движения корабля, представляющая собой наложение движения по окружности и равномерного движения её центра, представляет собой циклоиду, как показано на рисунке.
