Ломоносов 2024, 11 класс, задача 2
Три груза массами , и , связанные невесомыми и нерастяжимыми нитями, переброшенными через невесомые блоки так, как показано на рисунке, удерживают в неподвижном состоянии. Затем грузы отпускают, и система тел приходит в движение. Через некоторое время груз, движущийся по горизонтальной плоскости, попадает на шероховатую поверхность и начинает двигаться равномерно. Найти коэффициент трения между этим грузом и горизонтальной плоскостью. Ответ округлить до сотых. Отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны, отрезок нити, соединяющий груз на горизонтальной плоскости с блоком, горизонтален. Трения в осях блоков нет.
Ответ
Решение. Будем считать грузы материальными точками. Нумерация грузов показана на рисунке. Направим ось декартовой системы координат по направлению движения третьего груза (слева направо на рисунке), а ось - вертикально вниз. Ускорения грузов обозначим , и , соответственно. В дальнейшем учтем, что .
Запишем систему уравнений Ньютона в проекциях на оси выбранной системы координат:
груз :
груз :
груз :
Здесь и - силы, действующие со стороны нитей на первый и второй грузы, соответственно, а - сила трения скольжения, действующая на третий груз.
Дополним записанную выше систему очевидными соотношениями:
а также уравнением кинематической связи, которое имеет вид:
Получена полная система уравнений, необходимая для решения задачи. Учитывая, что , из уравнения (3) получаем, что
Выражая из уравнений (1) и (2) ускорения и , соответственно, подставим полученные выражения в уравнение (6):
Таким образом, сила натяжения нити, действующая на первый груз, равна:
Используя уравнение (7), для коэффициента трения между третьим грузом и горизонтальной плоскостью, при котором груз будет двигаться по плоскости равномерно, получим:
Ответ. .
Получен верный численный ответ
Нет верного численного ответа