Росатом 2023, Отбор, 11 класс, задача 4
Горизонтальный цилиндрический сосуд разделен на две равные части тонким подвижным поршнем. Вначале поршень удерживают, а в отсеках сосуда размещают и молей одноатомного идеального газа при одинаковой температуре. Затем поршень отпускают. Найти объемы отсеков сосуда в тот момент, когда поршень достигнет максимальной скорости. Объем сосуда - . Трением и теплообменом пренебречь. Считать, что поршень движется достаточно медленно так, что выполнены условия адиабатичности процессов, происходящих с газом в отсеках сосуда. Указание. Для адиабатического процесса справедливо уравнение: . .
Решение.
Из-за разных концентраций молекул давление газа в отсеках будет отличаться вдвое, и поршень после освобождения начнет двигаться. При этом давление газа в отсеке с бóльшим давлением будет убывать, в отсеке с меньшим давлением расти.
Очевидно, что поршень будет разгоняться вплоть до того момента, пока давления в отсеках сосуда не сравняются. Пусть давление газа в отсеках сосуда в этот момент равно , а объемы отсеков - и (где - объем того отсека, где содержится меньшее количество газа, - объем всего сосуда за вычетом объема поршня). Тогда уравнение адиабатического процесса, данное в указании к условию дает
где - первоначальное давление в том отсеке, где содержится меньшее количество газа (здесь учтено, что давление в отсеке с бóльшим количеством газа вдвое больше). Деля уравнения друг на друга, получим
Отсюда находим объемы отсеков сосуда в момент достижения поршнем максимальной скорости
Правильная идея решения - скорость поршня достигает максимального значения, когда давления в отсеках сосуда сравниваются друг с другом
Правильное использование уравнения адиабаты для газа в отсеках сосуда
Правильное уравнение для объема отсеков сосуда
Правильные ответы для объемов отсеков сосуда