Росатом 2025, 10 класс, задача 4
С молями идеального газа проводят циклический процесс , состоящий из: (а) изохорического нагревания , (б) участка с линейной зависимостью давления от объема, (в) изобарического сжатия (см. рисунок). Известно, что отношение максимального и минимального объемов газа в течение цикла равно , отношение максимального и минимального давлений газа в течение цикла равно , максимальная разность температур в течение всего цикла - . Найти работу газа за цикл.
Решение.
Пусть давление и объем газа в состоянии равны и . Поскольку это минимальные значения давления и объема в цикле, то давление газа в состоянии есть , а объем газа в состоянии есть . Так как работа газа в циклическом процессе есть площадь цикла в координатах давление-объем, то работа газа в нашем процессе есть
Проблема заключается только в том, что эти величины условие задачи нам не дает, поэтому мы должны их выразить через данное в условии максимальное изменение температуры газа. Очевидно, минимальной будет температура газа в состоянии (т.к. в этом состоянии самым малым среди всех состояний цикла является произведение давления на объем, которое связано законом Клапейрона-Менделеева с температурой газа). Эту величину легко найдем из закона Клапейрона-Менделеева:
А вот максимальной является температура какого-то состояния на участке . Найдем это состояние и максимальную температуру.
Очевидно, зависимость давления от объема на участке дается соотношением
Подставляя эту зависимость в закон Клапейрона-Менделеева, получим зависимость температуры газа от его объема
Математически эта зависимость представляет собой квадратичную функцию с ветвями, направленными вниз, и обращающуюся в нуль при и . Поэтому эта функция достигает максимума посередине между этими точками, т.е.
Следовательно, максимальное изменение температуры газа в рассматриваемом процессе можно найти как
Отсюда получаем окончательно для работы газа
Правильно найдена работа газа как площадь цикла на плоскости давление-объем и понято, что давление и объем газа в различных состояниях нужно выразить через максимальное изменение температуры газа.
Утверждение, что минимальной температуре отвечает состояние 1, максимальной будет температура в одном из состояний на прямой 2-3.
Правильно найдена зависимость давления от объема в процессе 2-3.
Правильно найдена зависимость температуры от объема или от давления в процессе 2-3 и найдена максимальная температура газа в процессе.
Правильный ответ.