Тепло и свет
( баллов): В полевой лаборатории три одинаковых нагревательных элемента с постоянным сопротивлением и три лампы работали от одного генератора, поддерживающего на своих клеммах постоянное напряжение. В схеме электропитания использованы два длинных провода с заметным сопротивлением (на рисунке они показаны «кривыми» линиями). Сопротивления остальных соединительных проводов по сравнению с ними пренебрежимо малы.
В первом режиме работы схемы ключ разомкнут, работает только одна лампа, одиночный нагреватель потребляет мощность , а каждый из нагревателей в паре - . Затем ключ замкнули, и теперь светят все три лампы. При этом мощность потребления каждого из парных нагревателей уменьшилась до . Какую мощность теперь потребляет одиночный нагреватель?
Возможное решение: Обозначим - сопротивление «первого» длинного провода (расположенного на схеме «слева»), - сопротивление «второго» («справа»), - сопротивление одного нагревателя, и - сопротивление нити одной лампы. Тогда, вычисляя сумму напряжений по «верхнему берегу» нашего моста, получаем:
( - сила тока через «одиночный» нагреватель). Введя обозначение , мы можем переписать это соотношение в виде уравнения
Аналогично для «нижнего берега» запишем ( - сила тока через пару нагревателей)
Еще два независимых уравнения дают условия непрерывности общего тока
и закона Ома для лампы (первый случай)
Эту систему линейных уравнений можно решить относительно сил токов. В частности, для сил токов через нагревательные элементы
Отношение этих токов нам известно, ведь
Это соотношение дает уравнение на , и :
Ясно, что для второго случая (одна лампа заменена на параллельное соединение трех) получаются точно такие же формулы с заменой . Тогда соотношение к дает нам еще одно уравнение:
Этот путь позволяет найти и для каждого , и при этом исследовать диапазон значений , при которых решение является физически допустимым (отношения сопротивлений положительны и близки по порядку величины). Например, при получается , . Для каждого полученного корня можно вычислить
и найти . Такой подход приводил к выводу, что возможные значения мощности потребления одиночного нагревателя во втором случае лежат в диапазоне .
Впрочем, есть еще один возможный путь. Если предположить, что задача должна иметь достаточно простое решение, то можно искать вариант, в котором выражение для отношения сил токов существенно упрощается. Известно, что это происходит в случае «пропорционального моста», когда сопротивление двух «длинных» проводов одинаково (в наших обозначениях ). Действительно, в этом случае из (3.1) и (3.2) можно получить уравнение
Вычитая из него (3.3), обнаруживаем, что
Таким образом, при отношение сил токов через нагреватели
не зависит от и , и поэтому будет одинаково для обоих подключений! Приравнивая , можно найти, что , а потом получить квадратное уравнение для с нужным положительным корнем , но в действительности в этом нет необходимости. Ведь теперь мы знаем, что для второго случая тоже , и
Такой подход использовался участниками, и считался «почти» правильным решением (см. критерии проверки).
Ответ: ; допустимый ответ: .
Получена полная система уравнений связи сил токов с сопротивлениями (эквивалентная (3.1)-(3.4))
Вычислено отношение либо получено правильное уравнение, связывающее с сопротивлениями
Записана полная система уравнений для сопротивлений или их отношений
Предложен алгоритм анализа системы уравнений или указано, что при связь сил токов через нагреватели оказывается максимально простой
Получена верная формула для в выбранном методе
Ответ либо