Тепло и свет
( баллов): В полевой лаборатории три одинаковых нагревательных элемента с постоянным сопротивлением и три лампы работали от одного генератора, поддерживающего на своих клеммах постоянное напряжение. В схеме электропитания использованы два длинных провода с заметным сопротивлением (на рисунке они показаны «кривыми» линиями). Сопротивления остальных соединительных проводов по сравнению с ними пренебрежимо малы.
В первом режиме работы схемы ключ разомкнут, работает только одна лампа, одиночный нагреватель потребляет мощность , а каждый из нагревателей в паре - . Затем ключ замкнули, и теперь светят все три лампы. При этом мощность потребления каждого из парных нагревателей уменьшилась до . Какую мощность теперь потребляет одиночный нагреватель?
Ответ
Возможное решение: Обозначим - сопротивление «первого» длинного провода (расположенного на схеме «слева»), - сопротивление «второго» («справа»), - сопротивление одного нагревателя, и - сопротивление нити одной лампы. Тогда, вычисляя сумму напряжений по «верхнему берегу» нашего моста, получаем:
( - сила тока через «одиночный» нагреватель). Введя обозначение , мы можем переписать это соотношение в виде уравнения
Аналогично для «нижнего берега» запишем ( - сила тока через пару нагревателей)
Еще два независимых уравнения дают условия непрерывности общего тока
и закона Ома для лампы (первый случай)
Эту систему линейных уравнений можно решить относительно сил токов. В частности, для сил токов через нагревательные элементы
Отношение этих токов нам известно, ведь
Это соотношение дает уравнение на , и :
Ясно, что для второго случая (одна лампа заменена на параллельное соединение трех) получаются точно такие же формулы с заменой . Тогда соотношение к дает нам еще одно уравнение:
Этот путь позволяет найти и для каждого , и при этом исследовать диапазон значений , при которых решение является физически допустимым (отношения сопротивлений положительны и близки по порядку величины). Например, при получается , . Для каждого полученного корня можно вычислить
и найти . Такой подход приводил к выводу, что возможные значения мощности потребления одиночного нагревателя во втором случае лежат в диапазоне .
Впрочем, есть еще один возможный путь. Если предположить, что задача должна иметь достаточно простое решение, то можно искать вариант, в котором выражение для отношения сил токов существенно упрощается. Известно, что это происходит в случае «пропорционального моста», когда сопротивление двух «длинных» проводов одинаково (в наших обозначениях ). Действительно, в этом случае из (3.1) и (3.2) можно получить уравнение
Вычитая из него (3.3), обнаруживаем, что
Таким образом, при отношение сил токов через нагреватели
не зависит от и , и поэтому будет одинаково для обоих подключений! Приравнивая , можно найти, что , а потом получить квадратное уравнение для с нужным положительным корнем , но в действительности в этом нет необходимости. Ведь теперь мы знаем, что для второго случая тоже , и
Такой подход использовался участниками, и считался «почти» правильным решением (см. критерии проверки).
Ответ: ; допустимый ответ: .