Рамка и провод
Жёсткая прямоугольная рамка, изготовленная из тонкой проволоки, может двигаться по гладкой горизонтальной поверхности, на которой закреплён тонкий бесконечно длинный прямолинейный провод. На рисунке показан вид сверху на данную систему.
Изначально силы токов в проводе и в рамке равны нулю. Рамка покоится в таком положении, что одна из пар её сторон параллельна проводу, причём расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки во много раз превышает все размеры рамки. Силу тока в проводе увеличивают до некоторого максимального значения настолько быстро, что смещением рамки за время увеличения силы тока можно пренебречь. В дальнейшем силу тока в проводе поддерживают постоянной. Оказалось, что в момент достижения силой тока в проводе максимального значения скорость рамки равнялась . Индуктивностью рамки можно пренебречь, а её сопротивление можно считать постоянным. Чему будет равна скорость рамки спустя очень большое время после достижения силой тока в проводе максимального значения?
Пусть сторона рамки, параллельная проводу, равна , а перпендикулярная ей сторона равна . Введём ось с началом на проводе перпендикулярно ему в направлении к рамке. Далее величина везде обозначает расстояние между проводом и ближайшей к нему стороной рамки, которое изначально равнялось . Пусть сила тока в проводе равна . Тогда индукция создаваемого магнитного поля провода на расстоянии от него направлена перпендикулярно горизонтальной поверхности на читателя и равна:
где — магнитная постоянная.
Пусть — величина силы тока в рамке в направлении против часовой стрелки при виде сверху. Равнодействующая сил Ампера, действующих на контур, составляет:
Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины и во много раз меньше , то выражение для можно приблизить следующим образом:
Пусть — сопротивление рамки, а — поток индукции магнитного поля, пронизывающего рамку. Поскольку индуктивностью рамки можно пренебречь, для силы тока из закона электромагнитной индукции Фарадея находим:
Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины и во много раз меньше , то индукцию магнитного поля провода можно считать постоянной по всей поверхности, натянутой на контур рамки, и равной , поэтому . Тогда имеем:
откуда
Рассмотрим увеличение силы тока в проводе. Поскольку это увеличение происходит очень быстро, движением рамки и её смещением за время увеличения силы тока в проводе до максимального значения можно пренебречь. Тогда для силы имеем:
Пусть и — масса рамки и проекция её скорости на ось соответственно. Из закона изменения импульса для рамки имеем:
Умножим закон изменения импульса для рамки на :
Проинтегрируем полученное выражение, обозначив за максимальную величину силы тока в проводе:
Отметим, что рамка начинает удаляться от провода после достижения в нём максимального значения силы тока.
Проанализируем дальнейшее движение рамки. Для этого получим выражение для силы при постоянном значении силы тока в проводе :
Запишем закон изменения импульса для рамки:
Умножим закон изменения импульса для рамки на :
Проинтегрируем полученное выражение в предположении, что рамка удаляется бесконечно далеко от провода, обозначив за проекцию скорости рамки на ось на бесконечном удалении от провода. Поскольку скорость рамки уменьшается, предположение окажется оправданным в том случае, если величина окажется положительной. Имеем:
Отсюда
Поскольку , рамка в процессе движения после достижения силой тока в проводе максимального значения никогда не останавливалась, а значит, полученное значение является ответом на вопрос задачи. Если бы величина оказалась отрицательной, то скорость рамки и расстояние между рамкой и проводом асимптотически стремились бы к нулю и к постоянному значению соответственно. Таким образом: