Росатом 2023, Отбор, 8 класс, задача 4
Аквариум в форме куба с ребром заполнен водой до половины. Найти максимальный размер ребра кубической льдины, которую можно поместить в аквариум без перелива воды через край и без касания льдиной дна сосуда. Плотность льда составляет от плотности воды.
Решение.
Из закона Архимеда следует, что при плавании льдины в воду погружено девять десятых ее объема. Действительно, условие плавания льдины дает
где - масса льдины, - ускорение свободного падения, - плотность воды, - объем погруженной в воду части льдины. Поскольку ( - плотность льда), из условия плавания заключаем, что доля погруженной воду части льдины составляет девять десятых ее объема
А это означает, что «опасным» будет выливание воды через край сосуда, а не касание льдиной дна сосуда. Действительно, при увеличении объема льдины с одной стороны, поднимается уровень воды в сосуде, с другой, нижние точки плавающей льдины приближаются ко дну сосуда. Но поскольку сосуд и льдина кубические, то если льдина займет всю площадь сосуда (см. первый рисунок в решении), дна доставать она не будет, так как в воду погружается девять десятых ее объема.
Итак, «критический» размер ребра льдины отвечает ситуации, когда уровень воды в сосуде достиг края сосуда. Это значит, что объем воды в сосуде плюс объем погруженной в воду части льдины должны равняться объему сосуда. Учитывая, что объем воды в сосуде равен половине объема сосуда и что в воду погружены девять десятых объема льдины, условие критичности ситуации дает
Отсюда находим
Правильная идея решения - размер льдины является максимальным, когда уровень воды доходит до верха сосуда
Правильное условие плавания льдины
Правильное нахождение объема воды с объемом погруженной в воду части льдины
Правильный ответ