Робофест 2026, 9 класс, задача 4
Вопрос. Два легких жестких стержня соединили идеальными (вращающимися без трения) шарнирами друг с другом и с вертикальной стенкой, и подвесили на этой конструкции массивный груз (см. рисунок). Стержни изготовлены из одного материала, имеют одинаковый профиль, но длина стержня в недеформированном состоянии равна , а длина недеформированного стержня — . В состоянии равновесия стержень горизонтален, и величина его продольной деформации равна . Найдите величину продольной деформации стержня в этом состоянии.
Задача. Из легких жестких стержней, идеальных невесомых блоков и идеальных шарниров на вертикальной стенке собрали кронштейн для подъема груза массой (см. рисунок). Для подъема используется легкий нерастяжимый трос, наматывающийся на вал двигателя, и при этом груз движется с постоянной скоростью . Деформации стержней и стены очень малы, и длина горизонтальных стержней , и равна , стержня — , а стержни и имеют длину и одинаковый наклон к горизонтали. Ускорение свободного падения . Найдите полезную мощность двигателя при подъеме груза. У какого из стержней в процессе подъема величина силы упругости наименьшая? Чему она равна? У какого наибольшая? Чему она равна? Во сколько раз величина продольной деформации стержня больше, чем у стержня ?
Ответ на вопрос. В состоянии равновесия сумма сил, приложенных к шарниру, соединяющему стержни и , равна нулю. При этом каждый из стержней находится в состоянии равновесия под действием двух сил, приложенных к его концам (стержни по условию «легкие», и действующими на них силами тяжести пренебрегаем). Сумма этих сил равна нулю, поэтому эти силы всегда направлены в противоположные стороны. Если линии их действия не совпадают, то такая пара сил будет иметь ненулевой суммарный момент, чего не должно быть в положении равновесия. Поэтому эти силы обязательно направлены вдоль одной прямой, и, поскольку они приложены к разным концам стержня, то они направлены вдоль стержня. Пусть — силы упругости стержней. Предположим, что стержень растянут, а стержень сжат (что выглядит естественно). Условие равновесия шарнира в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси дает:
Как видно, сделанное предположение оправдалось. Для ответа на вопрос достаточно знать соотношение сил, так как, согласно закону Гука, деформация пропорциональна величине силы упругости и обратно пропорциональна жесткости стержня. При одинаковых материалах и одинаковом сечении коэффициенты жесткости обратно пропорциональны длине стержня. Поэтому
Решение. В состоянии равновесия груза действующая на него сила тяжести уравновешивается двумя силами натяжения троса, перекинутого через подвижный блок. Поэтому сила натяжения, постоянная вдоль троса, равна . Полезная мощность двигателя — мощность работы по подъему груза, и она равна .
Далее рассмотрим условие равновесия сил, приложенных к шарниру, соединяющему стержни и (силы упругости стержней и две силы натяжения нити). Из этих условий (их можно записать, например, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси) получим: , и . Далее последовательно рассматриваем условия равновесия шарниров, соединяющих стержни и , и стержни и . Из первого из них находим, что , а . Второе в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси дает систему уравнений на две оставшиеся силы упругости:
Как видно, наименьшая величина силы упругости стержня — это , а наибольшая — это . Деформация стержня, согласно закону Гука, пропорциональна величине силы упругости и обратно пропорциональна жесткости стержня. При одинаковых материалах и одинаковом сечении коэффициенты жесткости обратно пропорциональны длине стержня. Поэтому
Ответ. , наименьшая величина силы упругости у стержня : , наибольшая — у стержня : . Величина продольной деформации стержня в раза больше, чем у стержня .
Вопрос: указано, что сила упругости каждого стержня направлена вдоль стержня.
Вопрос: это утверждение корректно обосновано.
Вопрос: правильно записаны уравнения равновесия шарнира в проекциях на две перпендикулярные оси.
Вопрос: получен правильный численный ответ.
Задача: правильно записано условие равновесия груза.
Задача: правильно найдены формула и численное значение мощности.
Задача: указано, что наименьшая величина силы упругости у стержня .
Задача: правильно найдено численное значение силы упругости стержня .
Задача: правильно найдены величины сил упругости стержней и .
Задача: записана правильная система уравнений равновесия шарнира между стержнями , , и в проекции на две перпендикулярные оси.
Задача: указано, что наибольшая величина силы упругости у стержня .
Задача: правильно найдено численное значение силы упругости стержня .
Задача: указано, что деформация стержня пропорциональна произведению силы упругости на длину стержня.
Задача: правильно найдено численное значение искомого отношения деформаций.