Два камня
С вершины башни высоты с одинаковыми скоростями , направленными перпендикулярно одна к другой, под разными углами к горизонту одновременно брошены два камня так, что их движение происходит в одной вертикальной плоскости. Через некоторое время после броска, как раз непосредственно перед падением одного камня на землю, оказалось, что векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту.
Определите величину этого угла и расстояние между камнями в этот момент времени.
Известно, что в начальный момент времени оба камня удаляются от поверхности земли, а непосредственно перед падением одного камня на землю другой камень тоже приближается к поверхности земли. Башня расположена на горизонтальной поверхности. Ускорение свободного падения равно . Сопротивление воздуха не учитывайте.
Ответ
Графический метод решения
Построим векторные треугольники скоростей для каждого из камней с общим началом в точке . Вершины треугольников для удобства подпишем буквами. На рисунке , — векторы начальных скоростей, , — векторы скоростей перед падением на землю одного из камней.
По теореме синусов из и находим
Поскольку камни брошены по условию под разными углами, то из равенства следует . Тогда , а камни движутся под одинаковыми углами к вертикали .
Искомый угол с горизонтом составляет .
Из закона сохранения энергии:
Для нахождения расстояния между камнями в этот момент определим время движения. По теореме косинусов для
Решая полученное квадратное уравнение, находим два корня
Учитывая условие, что первоначально оба камня удаляются от земли, необходимо выбрать знак . Умножая полученное время на относительную скорость камней , получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени
Аналитический метод решения
Пусть первым упадёт камень, брошенный под углом . В момент перед падением этого камня на землю
Откуда получаем время движения
Из уравнений движения камней определим проекции скоростей
В момент, когда векторы скоростей камней направлены под одинаковыми углами к горизонту
Из получившегося соотношения следуют два уравнения
Преобразуем уравнения, используя выражение для :
Выразив из второго уравнения и подставив в первое, получим
Искомый угол с горизонтом составляет .
Используя , из найдём
Тогда время
Умножая полученное время на относительную скорость камней , получаем выражение для расстояния между камнями в этот момент времени