Адиабатическая анизотропия
В горизонтальный цилиндрический сосуд герметично вставлен поршень, перемещающийся с помощью прикреплённой к нему рукоятки.
В сосуде находится насыщенный пар воды при температуре . Жидкой фазы воды в сосуде нет.
Водяной пар можно считать идеальным многоатомным газом. Удельная теплота парообразования воды при температуре равна и в рамках задачи может считаться не зависящей от температуры. Универсальная газовая постоянная равна . Молярная масса воды равна .
Считайте известным, что малые относительные изменения давления насыщенного пара и его абсолютной температуры вблизи значений и соответственно связаны соотношением
1. Температуру в сосуде начинают медленно изменять. Объём сосуда изменяется таким образом, что всё вещество в сосуде всё время остаётся в газообразном состоянии, при этом водяной пар всё время является насыщенным.
Чему равна молярная теплоёмкость водяного пара в данном процессе?
Рассмотрим адиабатически изолированный сосуд.
2. Найдите изменение температуры в сосуде при медленном относительном уменьшении его объёма на величину .
3. Найдите изменение температуры в сосуде при медленном относительном увеличении его объёма на величину .
1. Запишем первое начало термодинамики для вещества под поршнем:
Далее используем выражение для внутренней энергии идеального газа и уравнение Менделеева-Клапейрона:
Поскольку вещество в сосуде целиком остаётся в газообразной фазе:
Тогда получим:
где — молярная теплоёмкость идеального многоатомного газа при постоянном давлении.
Для теплоёмкости идеального газа, выраженной через параметры , имеем:
Тогда молярная теплоёмкость насыщенного пара равна:
2. При изменении объёма сосуда возможны два принципиально различных физических процесса:
1. Если относительное изменение давления водяного пара под поршнем меньше относительного изменения насыщенного пара при том же относительном изменении температуры, то есть если , вещество в сосуде целиком остаётся в газообразном состоянии, а пар перестаёт быть насыщенным.
2. Если описанное условие соотношения относительных изменений давлений при одинаковом относительном изменении температуры не выполняется, пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться.
Получим относительное изменение давления пара под поршнем, считая, что он целиком остаётся в газообразном состоянии.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим:
Запишем первое начало термодинамики:
Обратим внимание, что , поскольку .
Далее находим:
Таким образом, всё вещество под поршнем остаётся газообразным. Тогда полученное нами выражение для является применимым, и температура увеличивается на величину, равную:
3. Из решения второго пункта следует, что при увеличении объёма без конденсации температура в сосуде должна уменьшиться. Тогда пар в сосуде будет оставаться насыщенным и при этом частично конденсироваться, поскольку иначе давление пара в сосуде станет выше давления насыщенного пара при той же температуре, что невозможно.
Продифференцируем уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения газообразного количества вещества в сосуде:
поскольку в рассматриваемом процессе .
Из первого начала термодинамики:
где — количество теплоты, полученное неконденсирующимся насыщенным паром, а — изменение массы водяного пара.
Поскольку состояние неконденсирующегося водяного пара в координатах описывается кривой фазового равновесия, его теплоёмкость равна теплоёмкости , полученной при решении первого пункта, поэтому для количества теплоты имеем:
Примечание: отметим, что формула
где — изменение объёма сосуда, не является правильной, поскольку вследствие фазового перехода величина не равна изменению объёма, занимаемого неконденсирующимся водяным паром.
Возвращаясь к первому началу термодинамики для системы, получим:
Отсюда:
Окончательно находим:
Первое начало термодинамики для идеального газа приведено к виду: .
Молярная теплоёмкость идеального газа выражена через параметры : . Если данный пункт оценен, пункт 1.1 оценивается автоматически.
Определена молярная теплоёмкость водяного пара: .
Указано или следует из решения, что вещество под поршнем может как целиком оставаться в газообразном состоянии, так и частично конденсироваться. Если в работе отдельно рассматриваются процессы с присутствием и отсутствием конденсации – пункт оценивается автоматически (даже если присутствие и отсутствие конденсации не
соответствует пункту/не обосновано). Указано, что вещество целиком находится в газообразном состоянии, если давление в газе меньше давления насыщенного пара при той же температуре.
Получена связь изменения температуры и объёма в сосуде без конденсации: . Записанное в любом виде уравнение адиабатного процесса также оценивается в полный балл.
Получена связь изменения давления с изменением температуры без конденсации: . Пункт оценивается, если получена явная связь и .
С указанием на положительное изменение температуры показано, что , и сделан вывод, что вещество целиком остаётся в газообразном состоянии.
Определено изменение температуры: .
Показано, что пар в сосуде будет частично конденсироваться.
Продифференцировано уравнение Менделеева-Клапейрона с учётом изменения количества вещества: .
Метод 1. Правильно записано первое начало термодинамики для вещества в сосуде: .
энергии Δu. Метод 1. Указано, что теплоёмкость неконденсирующейся части водяного пара в сосуде равна теплоёмкости насыщенного пара.
Метод 1. Обосновано, что теплоёмкость неконденсирующейся части водяного пара в сосуде равна теплоёмкости насыщенного пара.
Метод 1. Записана формула: .
Метод 1. Получено выражение: .
Метод 2. Записано определение удельной теплоты фазового перехода: .
Метод 2. Записано приближение для при : .
Метод 2. Записано первое начало термодинамики для системы: .
Метод 2. Получено выражение: .
Определено численное значение изменения температуры: .