Покори Воробьевы горы 2025, 9 класс, задача 1
Вопрос: Небольшой груз подвешен на легкой тонкой нити. Во сколько раз изменится сила натяжения этой нити, если груз опустить в сосуд с водой - так, что он целиком окажется под водой, но не будет касаться дна или стенок сосуда? Плотность материала груза в раз больше плотности воды.
Задача: На длинном горизонтальном рычаге с точкой опоры точно посередине уравновешены небольшой груз массы , поставленный на один из концов рычага, и сосуд с водой. Масса сосуда (вместе с водой) равна массе рычага. При этом груз с помощью невесомой нерастяжимой нити и системы легких блоков соединен с таким же грузом, который подвешен так, что немного опущен в воду (см. рисунок). Через специальный зажим плавно выдают нить, увеличивая ее общую длину, и глубина погружения груза увеличивается, но рычаг остается в равновесии. Найдите отношение масс груза и рычага. На каком расстоянии (в единицах длины рычага) от точки опоры рычага расположен центр дна сосуда?
Ответ на вопрос: В воздухе сила Архимеда, действующая на груз с такой плотностью, пренебрежимо мала, и сила натяжения нити практически равна силе тяжести, то есть . В воде сила натяжения нити равна разности силы тяжести и силы Архимеда, поэтому
Значит, сила натяжения нити после опускания такого груза в воду уменьшится в раза.
Решение задачи: Заметим, что рычаг сам по себе находится в равновесии, и условием его равновесия является равенство моментов сил, с которыми на рычаг действуют груз, стоящий на его конце (), и сосуд с водой (). Пусть - расстояние от точки опоры рычага до центра дна сосуда. Тогда . Груз на конце рычага находится в равновесии, и поэтому сила его взаимодействия с рычагом равна разности сил тяжести и натяжения нити: . Аналогично , где сила, действующая на сосуд с водой со стороны груза, частично опущенного в воду, равна силе Архимеда, действующей на этот груз со стороны воды. Наконец, равновесие второго груза означает, что . Объединяя эти уравнения, получаем условие равновесия рычага в виде
причем равновесие не нарушается при изменении глубины погружения подвешенного груза (то есть при изменении величины силы Архимеда). Ясно, что это возможно, только если в нашем равенстве независимо равняются друг другу коэффициенты при и слагаемые без . Таким образом:
и все нужные ответы получены.
Ответ: Масса груза равна массе рычага, центр дна сосуда находится на расстоянии от точки опоры.
Есть неверный ответ с частично правильной терминологией.
Есть разумные соображения.
В основном все правильно, но есть заметные неточности или ответ неполон.
Правильный ответ с мелкими недочетами или недостаточно обоснованный.
Полный, правильный и обоснованный ответ.
указано, что равновесие рычага соответствует равенству моментов сил, с которыми на рычаг действуют груз, стоящий на его конце (), и сосуд с водой ()
указано, что эти силы определяются из условия равновесия сил, приложенных к грузу и сосуду
указано, что сила, действующая со стороны подвешенного груза на сосуд с водой, равна силе Архимеда, действующей на этот груз
указано, что давление груза на рычаг уменьшается за счет силы натяжения нити
указано, что блок тянет подвешенный груз вверх с силой
правильно записано условие равновесия рычага
правильно записаны уравнения связи сил давления с и
получен ответ
получен ответ