ВсОШ 2025, Муницип, 11 класс, задачи 10–12
В горизонтальной теплопроводящей неподвижной трубе, площадь поперечного сечения которой , помещены два подвижных теплопроводящих лёгких поршня. Они плотно прилегают к стенкам трубы, а их толщиной можно пренебречь. Концы трубы открыты в атмосферу. Один из поршней прикреплён к неподвижной стенке при помощи горизонтальной пружины жёсткостью . Изначально между поршнями заперт воздух при атмосферном давлении , начальное расстояние между поршнями равно , расстояние от левого поршня до конца трубы равно . Левый поршень квазистатически двигают к левому концу трубы.
1. Какую силу необходимо прикладывать к левому поршню в тот момент, когда он достигнет края трубы, чтобы его ускорение было пренебрежимо малым? Оба поршня способны двигаться по трубе без трения. Ответ дайте в ньютонах с точностью до десятых долей.
2. Во сколько раз увеличился объём газа между поршнями при перемещении левого поршня к левому концу трубы? Ответ дайте с точностью до сотых долей.
3. В исходной конфигурации правый поршень заменили на поршень таких же размеров, но двигающийся по трубе с трением. Максимально возможная сила трения покоя, действующая на такой поршень в трубе, равна . Определите ширину области, в которой может находиться левый поршень так, чтобы правый при этом оставался в состоянии покоя. Ответ дайте в сантиметрах с точностью до десятых долей.
Ответ.
1. .
2. .
3. .
Решение.
1. Обозначим смещение правого поршня при смещении левого к концу трубы за . Запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось для каждого из поршней:
Заметим, что из записанной системы следует связь между силой, приложенной к левому поршню, и силой упругости пружины: . Учитывая тот факт, что труба и поршни являются теплопроводящими, делаем вывод, что температура газа между поршнями остаётся постоянной, тогда в соответствии с законом Бойля-Мариотта:
Получаем, что давление газа, запертого между поршнями, в конце перемещения левого поршня определяется соотношением:
Подставим значение давления в уравнение второго закона Ньютона для левого поршня:
Корни полученного квадратного уравнения:
Выбираем корень со знаком «минус» из соображений, что при квазистатическое перемещение поршня возможно при бесконечно малой силе, т.е. при .
Окончательно получаем:
2. Смещение правого поршня:
Увеличение объёма:
3. Опишем состояние газа между поршнями и динамику поршней при смещении левого поршня влево на расстояние (дополнительно учтём, что правый поршень неподвижен, т.е. сила упругости равна нулю):
Переход между покоем и скольжением правого поршня происходит, когда нестрогое неравенство становится равенством. Тогда получаем:
При смещении левого поршня вправо:
Аналогично предыдущим вычислениям:
Таким образом, ширина области застоя:
Максимальный балл за задачу