Усечённый конус
Прямой сплошной непроводящий усечённый конус заряжен по боковой поверхности так, что его поверхностная плотность заряда зависит от расстояния до вершины целого конуса как , где — известная положительная константа. Основания усечённого конуса заряжены однородно с поверхностными плотностями и (см. рис.).
Длина образующей и половинный угол раствора конуса, дополняющего усечённый конус до целого, равны и соответственно, длина образующей усечённого конуса равна .
1. Пусть , где — известная величина. Найдите вектор напряжённости в точке .
В конусе просверлили тонкий канал, так что пробный отрицательный заряд () массы может без трения перемещаться вдоль оси симметрии конуса. Далее справедливо .
2. Докажите, что существует положение равновесия пробного заряда, не зависящее от значения . Найдите это положение равновесия. В качестве ответа приведите расстояние от него до точки .
3. При каких значениях найденное положение равновесия будет устойчивым? Для значений, соответствующих устойчивому равновесию, найдите период малых колебаний пробного заряда в окрестности положения равновесия.
Примечание: конус закреплён, диэлектрическая проницаемость усечённого конуса , влиянием силы тяжести и явлениями магнетизма пренебречь.
1. Первый способ.
Из осевой симметрии системы следует, что в любой точке на оси конуса вектор напряжённости параллелен оси. Мысленно разрежем конус на одинаковых практически плоских трапеций. При увеличении площадь кусочка искривлённой трапеции стремится к площади плоской трапеции, так что при достаточно большом кусочки можно считать плоскими.
Наибольшее основание трапеции выражается через центральный угол окружности сечения с наибольшим радиусом или через угол при вершине треугольника, получающегося при дополнении трапеции, как
При достаточно малом справедливо соотношение , так что в первом приближении каждую из трапеций можно представить в виде тонкого стержня с некоторой эффективной линейной плотностью заряда . Найдём . Выразим заряд на малой площади треугольника, получающегося при дополнении трапеции.
Тогда имеем
Рассмотрим тонкий диэлектрический равномерно заряженный стержень длины с линейной плотностью заряда . Найдём напряжённость на прямой, содержащей стержень, в точке на расстоянии от стержня. Сделаем это методом разности потенциалов. При смещении из точки на расстояние имеем
Тогда с учётом проекции на ось после суммирования от до получаем вклад в результирующую напряжённость от боковой поверхности конуса:
Нормальная компонента поля к плоской равномерно заряженной площадке в любой точке пространства выражается через телесный угол, под которым видна площадка из этой точки. Если по плоскому слою равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью , то в точке компонента электрического поля, перпендикулярная слою, равна
где — телесный угол, под которым виден плоский слой из точки . Рассмотрим элемент плоского слоя с площадью . Пусть — единичный вектор нормали к поверхности слоя, направленный к точке , а — радиус-вектор, проведённый от элемента слоя к точке . Тогда
Отсюда
Так как оба основания видны из точки под одинаковым телесным углом, а , из теоремы о выражении нормальной к площадке напряжённости через телесный угол следует, что суммарный вклад в результирующую напряжённость от оснований
Значит,
Второй способ.
Разобьём боковую поверхность на колечки и начнём интегрировать:
Пусть — расстояние от центра диска, заряженного с , по его оси, а — радиус диска. Тогда
В нашем случае
Так как , суммарная напряжённость от оснований равна нулю, и снова
2. Первый способ.
Рассмотрим пару противоположных стержней. Они образуют равнобокую трапецию с основаниями , и боковой стороной . Для равномерно заряженного стержня в любой точке , не принадлежащей стержню, напряжённость направлена вдоль биссектрисы угла .
Доказательство. Рассмотрим малый элемент длины стержня. Напряжённость от него в точке эквивалентна напряжённости от точечного заряда . По закону Кулона,
Заметим, что
Тогда
что в точности соответствует напряжённости от малого элемента длины дуги окружности радиусом с плотностью заряда . Поскольку для дуги окружности в силу симметрии результирующая напряжённость в точке направлена по биссектрисе центрального угла, то же самое верно и для стержня.
Таким образом, напряжённость в точке пересечения диагоналей трапеции от боковой стороны направлена вдоль биссектрисы угла . Заметим, что точка , в которой суммарная напряжённость от боковой поверхности усечённого конуса равна нулю, совпадает с точкой .
В самом деле, из соотношений углов , , , получаем , значит биссектриса угла перпендикулярна высоте конуса.
Согласно теореме о выражении нормальной к площадке напряжённости через телесный угол, так как , в точке пересечения диагоналей трапеции суммарная напряжённость от оснований конуса равна нулю при любом значении .
Из подобия треугольников получаем
Откуда
При , получаем
В конусе
Откуда при
Второй способ.
Введём координатную ось с началом в точке и направлением вдоль оси симметрии. Разобьём боковую поверхность усечённого конуса на колечки и для нахождения напряжённости проинтегрируем вклад от одного колечка в пределах изменения координаты от до :
После подстановки и взятия интегралов:
Из условия получаем единственный корень
Для оснований:
Вклад в осевую напряжённость от оснований:
Тогда из условия имеем единственный корень . Поскольку , — искомое положение равновесия:
3. Первый способ.
Пусть пробный заряд смещён относительно положения равновесия на расстояние в точку , . Рассчитаем вклад в напряжённость в точке от боковой поверхности конуса.
Отрежем от трапеции верхушку так, чтобы точка была точкой равновесия для получившейся новой трапеции. Тогда на пробный заряд будет действовать сила со стороны отрезанного кольца.
Используя формулу
получаем
Для вклада боковой поверхности:
где
Просуммируем от до :
Рассчитаем вклад в напряжённость в точке от оснований конуса. Воспользуемся упомянутой в первом пункте теоремой. Тогда нескомпенсированный заряд расположен в форме кольца в нижнем основании усечённого конуса.
Из подобия треугольников
При этом
Для вклада основания:
Тогда
Окончательно, уравнение движения пробного заряда по оси принимает вид
Откуда ясно, что положение равновесия устойчивое в случае
а период колебаний
Второй способ.
Пусть , . Принимая во внимание при , получим
Проделывая то же самое для оснований, получим
Это снова приводит к тому же уравнению движения, условию устойчивости и периоду малых колебаний.