Приведите пример такого квадратного трехчлена P(x), что при любом x справедливо равенство P(x)+P(x+1)+ldots+P(x+10)=x2. Среди зрителей кинофестиваля было поровну мужчин и женщин. Всем зрителям понравилось одинаковое количество фильмов. Каждый фильм понравился восьми зрителям. Докажите, что не менее 3/7 фильмов обладают следующим свойством: среди зрителей, которым фильм понравился, не менее двух мужчин. Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов? Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к BC пересекает AB и AC в точках X и Y. Прямая AO пересекает прямую BC в точке D, M — середина BC. Описанная окружность треугольника ADM пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке E, отличной от A. Докажите На доске написаны 1000 последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появ Для каких k можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в черный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно k черных клеток, либо вовсе не было черных клеток? 
