Алиса записала положительные числа a, b, c, d, e (не обязательно целые), а Маруся — числа frac1a, frac1b, frac1c, frac1d, frac1e. Оказалось, что сумма чисел Алисы больше суммы чисел Маруси. Могло ли произведение чисел Алисы оказаться меньше произведения чисел Маруси? (Д. Мухин) Дан остроугольный треугольник ABC. На его описанной окружности отмечена точка D, диаметрально противоположная вершине A. Точки X и Y на стороне BC таковы, что BX=XD и CY=YD (точка X лежит на отрезке BY). Докажите, что DA — биссектриса угла XDY. (А. Доледенок) На столе лежат 11 арбузов массами 1, 2, 3,..., 11 кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает 14 кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сдел В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны AB и BC равны, K — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника ABD повторно пересекает сторону BC в точке Y, а описанная окружность треугольника BCD повторно пересекает сторону AB в точке X. Докажите, что angle AKX=angle CKY. (Ф. Нилов) Существует ли бесконечное множество S, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных x и y из S найдётся z из S (возможно, совпадающее с x или y), для которого x+y+z — квадрат натурального числа? (М. Евдокимов) В гостинице a>1 этажей, на каждом этаже b одноместных номеров. На математический конгресс приехало ab математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чё 
