(10 баллов) Хромая ладья бьёт ближайшие 15 клеток слева, справа, сверху и снизу (т. е. на бесконечной клетчатой плоскости она бы била 4 × 15 клеток, не считая той, на которой стоит). Какое наибольшее количество не бьющих друг друга хромых ладей можно поставить на доску 193 × 193 так, чтобы они не би (20 баллов) Положительные действительные числа x, y и z таковы, что x4+1=62x2,qquad y4+1=674y2,qquad z4+1=623z2. Число n таково, что x2y2z2+1=(xy+1)(yz+1)(zx+1)-nxyz. Найдите n. Если необходимо, округл (20 баллов) Внутри треугольника ABC со сторонами AB=√5, BC=(4/3) и AC=π отмечена точка M. Оказалось, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника d=MA+MB+MC — натуральное число. Найдите произведение возможных значений d. (30 баллов) Точка M — середина гипотенузы AC прямоугольного равнобедренного треугольника ABC, N — середина отрезка CM. Прямая BN пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Найдите площадь треугольника ACD, если AB=10. (30 баллов) Окружность касается катетов прямоугольного треугольника и делит его гипотенузу на отрезки длины 1, 24 и 3 (при этом 24 — длина хорды окружности). Чему равна площадь треугольника? (40 баллов) На доске написаны числа 1, 2, 3,..., 2023. Раз в минуту к доске подбегает Жора. Он выбирает некоторое натуральное число k, но не обязательно написанное на доске. После этого каждое число на доске, не меньшее k, уменьшает на k. После нескольких операций на доске осталось ровно одно ненуле (40 баллов) В пространстве отмечены 100 точек. Некоторые пары отмеченных точек соединены отрезками. Если какие-то два отрезка пересекаются, то у них есть общий конец. Известно, что как ни покрась точки в красный и синий цвета, количество отрезков с разноцветными концами будет не более 500. Докажите, (40 баллов) Пусть k-значное число A=123ldots(k-1)k записано в системе счисления с основанием n<10, а k-значное число B=(k-1)(k-2)ldots10 записано в десятичной системе счисления. Найти все пары чисел A и B такие, что A=B. 
