(20 баллов) Даны m подмножеств n-элементного множества: A1,ldots,Am. Обозначим через |Ai| число элементов множества Ai. Рассмотрим неравенство n2Σi,j,k=1m |Aicap Ajcap Ak|ge (|A1| (20 баллов) На доске написана система из 12 различных уравнений с 6 неизвестными x1,x2,x3,x4,x5,x6. Каждое уравнение имеет вид xi+xj+xk=0, где ine jne k (сумма трех различных неизвестных равна нулю). М (20 баллов) Дан описанный четырехугольник ABCD, у которого радиусы вписанных окружностей треугольников ABC и ADC равны. Найдите угол между диагоналями AC и BD. (20 баллов) Найдите все вещественные c, при которых сумма девятых степеней корней уравнения x2-x+c=0 равна нулю, и сумма пятнадцатых степеней тоже равна нулю. Замечание: корни могут быть комплексными. (20 баллов) Точки P и Q лежат соответственно на сторонах BC и CD квадрата ABCD. Прямые AP и AQ пересекают BD в точках M и N соответственно, а прямые PN и QM пересекаются в точке H. Докажите, что AHperp PQ тогда и только тогда, когда точки P,Q,M,N лежат на одной окружности. (20 баллов) Дано несколько вещественных чисел, по модулю не превосходящих 1. Сумма всех чисел равна S. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, чтобы при некотором натуральном n<100 сумма выбранных чисел отличалась от (nS/100) не более чем на frac1{100}. (20 баллов) В правильном тетраэдре с ребром, равным 8, отмечены 25 различных точек: 4 вершины и 21 произвольная точка внутри тетраэдра. Никакие 4 отмеченные точки не лежат в одной плоскости. Докажите, что найдется тетраэдр с вершинами в отмеченных точках, объем которого меньше единицы. 
