(15 баллов) Существуют ли многочлены P(x), Q(x) и R(x) с действительными коэффициентами такие, что многочлены P(x) · Q(x), Q(x) · R(x) и P(x) · R(x) имеют одинаковую степень, а многочлены P(x) + Q(x), P(x) + R(x) и Q(x) + R(x) имеют попарно различные степени? (Считаем, что нулевой многочлен степени (15 баллов) Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором AB = BC. На стороне CD нашлась точка N такая, что angle DNB = 90circ. Докажите, что AD + NC = DN. (15 баллов) Для действительных чисел x>2 и y>2 докажите, что (x2-x/y2+y) +(y2-y/x2+x) >(2/3). (15 баллов) Однажды 45 друзей, живущих в разных уголках земного шара, захотели обменяться друг с другом новостями. Для этого они собираются устроить k видеовстреч, на каждой из которых каждый человек расскажет всем свои новости, а также все новости других людей, которые он узнал ранее. Для видеовстр (20 баллов) Найдите все составные натуральные числа n, обладающие следующим свойством: каждый натуральный делитель числа n (в частности, само n), уменьшенный на 1, является квадратом целого числа. (20 баллов) Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AH2 = BH2 + CH2. На описанной окружности треугольника ABC нашлись точки D и E такие, что CE ∥ AB и BD ∥ AC. Докажите, что точка H лежит на прямой DE. 
