(15 баллов) Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?
(15 баллов) Различные действительные числа x, y, z таковы, что среди трёх чисел (x+y/x2+xy+y2), (y+z/y2+yz+z2), (z+x/z2+zx+x2) какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?
(15 баллов) Натуральные числа a, b, c таковы, что 1 le a < b < c le 3000. Найдите наибольшее возможное значение величины НОД(a,b) + НОД(b,c) + НОД(c,a).
(15 баллов) В окружность ω вписан треугольник ABC такой, что AB < BC. Биссектриса внешнего угла B пересекает ω в точке M. Прямая, параллельная BM, пересекает стороны BC, AB и продолжение стороны CA за точку A в точках P, Q и R соответственно. Прямая MR вторично пересекает ω в точке X. Докажите, что
(20 баллов) Дана клетчатая доска 100 × 100. Каждая клетка доски покрашена в один из двух цветов: белый или чёрный. Назовём раскраску доски уравновешенной, если в каждой строке и в каждом столбце 50 белых и 50 чёрных клеток. За одну операцию разрешается выбрать две строки и два столбца так, чтобы из
(20 баллов) Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов P(Q(x)) и Q(P(x)) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел може
