На доску выписали 777 попарно различных комплексных чисел. Оказалось, что можно ровно 760 способами выбрать два числа a и b, записанных на доске, так, чтобы выполнялось равенство a2+b2+1=2ab. Способы, которые отличаются перестановкой чисел, считаются одинаковыми. Докажите, что Дана прямая призма ABCA1B1C1. Известно, что треугольники A1BC, AB1C, ABC1 и ABC — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной сфере. Пару многочленов F(x,y) и G(x,y) с целыми коэффициентами назовём важной, если из делимости на 100 обеих разностей F(a,b)-F(c,d) и G(a,b)-G(c,d), где a, b, c, d — целые, следует, что числа a-c и b-d делятся на 100. Существует ли такая важная пара многочленов P(x,y), Q(x,y), что пара многочленов P(x,y Дано натуральное число N. Куб со стороной 2N+1 сложен из (2N+1)3 единичных кубиков, каждый из которых — либо чёрный, либо белый. Оказалось, что среди любых 8 кубиков, имеющих общую вершину и образующих куб 2 × 2 × 2, не более 4 чёрных кубиков. Какое наибольшее количество чёрных кубиков мо Дано натуральное число n. Натуральные числа 1, 2,..., n выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех n-1 выписанных По кругу выписаны 100 единиц. Петя и Вася играют в игру, каждый делает по 109 ходов. Петя каждым своим ходом выбирает 9 стоящих подряд чисел и уменьшает каждое из них на 2. Вася каждым своим ходом выбирает 10 стоящих подряд чисел и увеличивает каждое из них на 1. Ребята ходят по очереди, Четырёхугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон, вписан в окружность Ω. В треугольники DAB, ABC, BCD, CDA вписаны окружности ωa, ωb, ωc, ωd соответственно. Проведены общие внешние касательные к окружностям ωa и ωb, ωb Пусть f — непрерывная функция из R в R. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции f. Известно, что у графика функции f ровно N хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение N. 
