Оригинальные задания олимпиады «Всероссийская олимпиада школьников» для 11 класса за 2024/25 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 2 файла для подготовки.
(4 баллов) В прямоугольном параллелепипеде V все рёбра имеют целую длину (в сантиметрах). Петя выбрал одну из вершин параллелепипеда V и посчитал площади трёх граней, содержащих эту вершину. Оказалось, что наибольшая из площадей равна 240 см2, а наименьшая — 24 см2. Обозначим x
(4 баллов) Положительные действительные числа x, y удовлетворяют равенствам y=3√(x) и xy=yx. Чему может быть равно xy? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
(4 баллов) Три окружности радиусов a, b, c касаются как на рисунке, а их центры Q, R, S вместе с точкой T являются вершинами прямоугольника, причём точка T лежит на окружности с центром S. Найдите площадь прямоугольника QRST, если b=5. Три касающиеся окружности
(4 баллов) В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Скольки
(4 баллов) (а) Назовём натуральное число m привлекательным, если равенство lfloor(2024/n) rfloor=m не выполняется ни для какого натурального n. Напомним, что lfloor xrfloor обозначает целую часть числа x. Найдите наименьшее привлекательное число. (б) Найдите количество привлекательных чисел, не прев
(4 баллов) Назовём натуральное число n увлекательным, если в клетках квадратной таблицы n × n можно расставить числа от 1 до n2 так, чтобы сумма чисел в клетках любого квадратика 2 × 2 делилась на 4. (а) Приведите пример числа n, которое не является увлекательным и удовлетворяет неравенст
(4 баллов) Дан тетраэдр ABCD. Известно, что AD=BC=10, AC=BD=11, AB=9 и CD=13. Борис выбирает точку X внутри тетраэдра и считает сумму AX+BX+CX+DX. Какое наименьшее значение он может получить?
