(7 баллов) Числа a, b и c таковы, что a2+b22 и b2+c22. Докажите, что a4+c44. (7 баллов) В клетчатом квадрате 11 × 11 отметили все 144 вершины клеток. Затем отмеченные точки раскрасили в пять цветов. При каком наибольшем d могло оказаться, что расстояние между любыми двумя одноцветными отмеченными точками не меньше d? (7 баллов) Петя и Вася играют в игру. В начале игры на столе лежат 1000 куч, состоящих из 1, 2, 3, 4, ldots, 999, 1000 спичек соответственно. Ребята ходят по очереди, начинает Петя. Каждый из мальчиков своим ходом может взять любое ненулевое количество спичек из кучи с наибольшим количеством спичек (7 баллов) Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших 1, произведение (a-1)(b-1)(c-1) делится на n2? (7 баллов) Выпуклые четырёхугольники ABCD и KLMN расположены так, что прямые KL, LM, MN и NK являются биссектрисами внешних углов A, B, C и D четырёхугольника ABCD соответственно. При этом ABCD не является параллелограммом. Диагонали четырёхугольника KLMN пересекаются в точке P. Докажите, что если a (7 баллов) Тренер дал начинающим шахматистам задание: каждый должен подойти к шахматной доске 8 × 8, поставить шахматного короля на одну из угловых клеток и сделать им 21 ход так, чтобы король побывал в каких-то двух других угловых клетках и вернулся в исходную клетку. После этого короля убирают, и (7 баллов) Дано нечётное простое число p. Найдите все пары натуральных чисел a и b таких, что dfrac{a}{p}+dfrac{p}{b}=2. (7 баллов) Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Прямая AO пересекает отрезок BC в точке D. Точка E выбрана на отрезке BC так, что D — середина отрезка CE. Основание T перпендикуляра, опущенного из E на CO, лежит в треугольнике ABD. Прямая BT пересекает окружность, о (7 баллов) Числа a, b и c больше единицы и удовлетворяют равенству (a-dfrac1b)(b-dfrac1c)(c-dfrac1a)=1. Докажите, что (a-frac1a)2+(b-frac1b)2+(c-frac1c)2ge frac ba+frac cb+frac ac. (7 баллов) В большой компании у каждого человека ровно 100 знакомых в этой же компании (если A знаком с B, то и B знаком с A). Оказалось, что у любого человека среди его 100 знакомых есть хотя бы одна пара незнакомых друг с другом людей. При каком наибольшем k можно утверждать, что в компании найдёт 
