(7 баллов) У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров 1 × 1, 1 × 2, 1 × 3, ldots, 1 × 2024 (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1? (О. Подлипский) (7 баллов) На координатной плоскости нарисована парабола y=x2. Для данного числа k>0 рассматриваются трапеции, вписанные в эту параболу (то есть все вершины трапеции лежат на параболе), у которых основания параллельны оси абсцисс, а произведение длин оснований равно k. Докажите, что продо (7 баллов) По кругу стоят 100 белых точек. Аня и Боря красят по очереди по одной ещё не покрашенной точке в красный или синий цвет, начинает Аня. Аня хочет, чтобы в итоге оказалось как можно больше пар разноцветных соседних точек, а Боря — чтобы оказалось как можно меньше таких пар. Какое наибольшее (7 баллов) В ряд выписаны по одному разу все натуральные числа от 1 до 1000 в каком-то порядке. Докажите, что можно выбрать несколько стоящих подряд выписанных чисел, сумма которых больше 100000, но не превосходит 100500. (С. Берлов) (7 баллов) Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB являются вершинами выпуклого четырёхугольника, периметр которого равен P. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей треугольников AOB, (7 баллов) Сергей утверждает, что нашёл различные вещественные числа x,y,z такие, что dfrac1{x2+x+1}+dfrac1{y2+y+1}+dfrac1{z2+z+1}=4. Могут ли слова Сергея быть правдой? (П. Кожевников, фольклор) (7 баллов) Петя утверждает, что он написал 10 подряд идущих натуральных чисел, и оказалось, что среди всех цифр, используемых в этих числах, каждая цифра (от 0 до 9) встречается одно и то же количество раз. Могли ли слова Пети оказаться правдой? (П. Кожевников) (7 баллов) Дан четырёхугольник ABCD, в котором angle A=angle C=90circ. Известно, что его вершины A и D вместе с серединами сторон AB и BC лежат на одной окружности. Докажите, что вершины B и C вместе с серединами сторон AD и DC тоже лежат на одной окружности. (А. Кузнецов) (7 баллов) Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел a,b,c такие, что каждое из чисел a+bc, b+ca, c+ab является простым делителем числа (a2+1)(b2+1)(c2+1). (А. Чиронов, И. Богданов) (7 баллов) Каждый из 2024 людей является рыцарем или лжецом. Некоторые из них дружат друг с другом, причём дружба взаимна. Каждого из них спросили про количество друзей, и все ответы оказались различными целыми числами от 0 до 2023. Известно, что все рыцари отвечали на вопрос верно, а все лжецы изме 
