Оригинальные задания олимпиады «Всероссийская олимпиада школьников» для 9 класса за 2023/24 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 2 файла для подготовки.
(4 баллов) У Пети дома есть много ручек: синих и красных. Собираясь в школу, он положил в пенал 20% имеющихся ручек. Среди положенных ручек ровно 25% оказались красными. Подумав, Петя решил положить в пенал ещё 4 синих ручки. После этого доля красных ручек в пенале составила 20%. Сколько всего ручек
(4 баллов) Через вершину D квадрата ABCD проведена прямая ell, и на неё опущены высоты AX, BY, CZ, как показано на рисунке. Известно, что площадь квадрата ABCD равна 169, а длина отрезка AX равна 5. Рисунок к задаче 9.2 (а) (2 балла) Найдите длину отрезка CZ. (б) (2 балла) Найдите длину отрезка BY.
(4 баллов) По кругу лежали n шариков, где 6≤ n≤100. Их перемешали и снова выложили по кругу так, что между каждыми двумя шариками, которые до этого были соседями, теперь лежат ровно 2 шарика. Сколько различных значений могло принимать n?
(4 баллов) В выражении (a+2b)(b+2c)(c+2d)(d+2e)(e+2f)(f+2a) раскрыли скобки и привели подобные слагаемые. (а) (2 балла) Найдите коэффициент при abcdef. (б) (2 балла) Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
(4 баллов) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором AB=BD. На отрезке BD выбрали точку K так, что ADparallel KC. Описанная окружность треугольника KDC пересекает отрезок BC в точке L. Известно, что angle ABD=48circ и angle CBD=13circ. Сколько градусов составляет угол BAL?
(4 баллов) В очереди в буфет стоят 30 человек, у каждого из них есть целое неотрицательное число рублей — суммарно у всех ровно N рублей. Все они по порядку пронумерованы числами от 1 до 30 (т. е. человек № 1 находится в начале очереди, а человек № 30 — в конце). Каждый человек в очереди знает, скол
(4 баллов) В компьютер ввели число 1. За одну операцию число в компьютере можно либо увеличить на 7, либо поделить на 2, если оно чётное (например, из числа 60 можно получить 30 или 67). При этом запрещается получать числа, большие 400. Число назовём классным, если его можно получить в результате не
(4 баллов) Назовём полоской клетчатый прямоугольник, длина одной из сторон которого равна 1 (в частности, квадрат 1 × 1 тоже является полоской). Назовём натуральное число k хорошим, если клетчатый прямоугольник 43 × k можно разрезать по линиям сетки на попарно различные полоски. Сколько существует х
