(7 баллов) В прямоугольнике ABCD со сторонами AB=10, BC=12 отметили точку M — середину стороны CD. На отрезке BM отметили точку P так, что BC=BP. Найдите площадь четырехугольника ABPD.
(7 баллов) Петя случайно выбирает натуральное число d от 1 до 5 (вероятность выбрать каждое равна frac15). Затем Петя случайно выбирает натуральное число a от 1 до 1300 (вероятность выбрать каждое равна frac1{1300}). Найдите вероятность того, что один из членов арифметической прогрессии с первым чле
(7 баллов) У Пети есть натуральное число N. Он рассматривает все пары цифр числа N, одна из которых четная, а другая нечетная, и записывает на доску произведение цифр в каждой паре. Например, если бы у него было число 2338, то на доске были бы записаны числа 6, 6, 24 и 24. Оказалось, что сумма чисел
(7 баллов) Рассмотрим правильную десятиугольную призму A1A2ldots A10B1B2ldots B10. Найдите количество прямых, проходящих через две вершины этой призмы и скрещивающихся с диагональю A1B6.
(7 баллов) Функции f(x) и g(x) определены на множестве действительных значений и принимают действительные значения. Также известно, что f(x) и g(x) взаимно обратны, при этом значения функций f(x) и frac12x во всех точках отличаются меньше чем на 5. Уравнение g(x)=25-x2 имеет целый корень.
(7 баллов) В остроугольном треугольнике провели высоту BH. На дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точку B, отметили такую точку X такую, что BX=BC. Прямая, проходящая через X параллельно AB, пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q. Найдите длину отрезка PQ, если AB=7, AC=1
(7 баллов) Петя и Вася играют в следующую игру. На доске 5 × 5 в каждой клетке лежит по n конфет. Петя и Вася по очереди, начиная с Пети, выбирают непустую клетку и съедают из неё несколько конфет. При этом из угловых клеток разрешается съедать не более двух конфет, из клеток, имеющих 3 соседа по ст
