На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из осталь Дана последовательность an=n!(n2-2025n+1) для всех натуральных n. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности. (М. Лисицын) Даны две треугольные пирамиды с общим основанием ABC. Их вершины S и R лежат по разные стороны от плоскости ABC. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой. (М. Евдокимов) Существуют ли такие натуральные числа m и n и такой многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(m) не делится на n, но f(pk) делится на n для любого простого числа p и любого натурального k? (А. Волостнов, С. Гришин) Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди Петя красит каждую клетку доски 22 × 22 в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на двухклеточные доминошки. Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше разноцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получи Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом. (М. Евдокимов) Кусок сыра массой 1 кг разрезали на n≥4 кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масс Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. На стороне BC отметили точку D. Окружности, описанные около треугольников BOD и COD, повторно пересекают отрезки AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что из отрезков BX, XY и YC можно сложить треугольник. (А. Соколов) Назовём подмножество A плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой ell той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие f:ellto A, что для всяких двух точек X, Y на прямой ell длина отрезка XY отличается от длины отрезка f(X)f(Y) не более, чем на 1. Верно ли, что любое под Фокусник вместе со своим помощником собираются показать следующий фокус. Помощник надевает фокуснику повязку на глаза, приглашает на сцену случайного зрителя из зала и просит его написать последовательность из нулей и единиц длины 22025. Затем помощник верно называет фокуснику номер и зна 
