Задания Олимпиады школьников СПбГУ — 8 класс — 2022/23
Оригинальные задания олимпиады «Олимпиады школьников СПбГУ» для 8 класса за 2022/23 учебный год. В выбранном комплекте: 9 задач и 2 файла для подготовки.
(10 баллов) В стране имеются 4 южных города и 5 северных. Транспортное сообщение связывает каждый южный город с каждым северным городом в обоих направлениях; между другими парами городов транспортного сообщения нет. Путешественник стартует из определенного южного города, собирается объехать все южны
(10 баллов) По кругу выложены n шариков, белых и красных. Среди любых пяти шариков, лежащих подряд, ровно два — белые. При каком n такое возможно? а) 2021; б) 2022; в) 2023; г) 2024; д) ни один из указанных ответов не является верным.
(20 баллов) На факультет журналистики университета Сказочного Содружества поступают 4 курицы. На факультете имеются 2 места на дневном отделении и 3 места на вечернем. Считая, что все 4 курицы поступят на факультет, определите количество исходов, в которых на вечернее отделение поступят ровно две ку
(30 баллов) На сторонах BC и AC равнобедренного треугольника ABC (AB=AC) нашлись точки D и E соответственно такие, что AE=AD, angle EDC=18circ. Найдите величину угла angle BAD.
(30 баллов) Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. На отрезке AC нашлась такая точка D, что DM и BC перпендикулярны. Отрезки AM и BD пересекаются в точке X. Оказалось, что AC=2BX. Докажите, что X — середина отрезка AM. Чертёж к задаче
(30 баллов) Маша отмечает на стороне CD квадрата ABCD точку E и находит длину отрезка AE. Миша проводит биссектрису угла BAE, отмечает точку F пересечения этой биссектрисы и стороны BC квадрата и находит сумму длин отрезков BF и ED. Может ли Маша выбрать точку E так, чтобы найденная ею длина отрезка
(40 баллов) На доске написаны числа 12, 22, 32,..., 10002. Двое игроков по очереди стирают по одному из чисел на доске до тех пор, пока на доске не останется всего два числа. Если разность этих двух чисел делится на 13, то выигрывает второй игрок, иначе —
(40 баллов) В начале каждого урока физкультуры 30 школьников разбиваются на 3 команды по 10 человек в каждой. Докажите, что найдутся два школьника, которые были в одной команде три урока подряд.
(40 баллов) Про действительные числа a, b и c известно, что ab+bc+ca=3. Какие значения может принимать выражение (a(b2+3)/a+b) +(b(c2+3)/b+c) +(c(a2+3)/c+a)?
