Оригинальные задания олимпиады «Всероссийская олимпиада школьников» для 11 класса за 2021/22 учебный год. В выбранном комплекте: 8 задач и 1 файл для подготовки.
(4 баллов) По кругу выписаны 12 различных натуральных чисел, одно из которых равно 1. Любые два соседних числа отличаются либо на 10, либо на 7. Какое наибольшее значение может принимать наибольшее выписанное число?
(4 баллов) В спортивной школе занимается 55 человек, каждый из которых либо теннисист, либо шахматист. Известно, что нет четырёх шахматистов, которые имели бы поровну друзей среди теннисистов. Какое наибольшее количество шахматистов может заниматься в этой школе?
(4 баллов) На окружности по часовой стрелке расположены точки A, B, C, D, E, F, как изображено на рисунке. Хорды AD и CE пересекаются в точке X под прямым углом, хорды AD и BF пересекаются в точке Y. Известно, что CX=12, XE=27, XY=15, BY=9, YF=11. Рисунок к задаче 11.5 (а) (2 балла) Найдите длину от
(4 баллов) Дан набор чисел {-1,-2,-3,ldots,-26}. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?
(4 баллов) Все вершины правильного тетраэдра ABCD находятся по одну сторону от плоскости α. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость α являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины AB2, если известно, что расстояния от точек A и B до плоскости α равны 17 и
(4 баллов) В каждой клетке полоски 1 × N стоит либо плюс, либо минус. Ваня умеет совершать следующую операцию: выбрать любые три клетки (не обязательно последовательные), одна из которых находится ровно посередине между двумя другими клетками, и поменять три знака в этих клетках на противоположные.
