(4 баллов) Числа x, y, z таковы, что x∈[-3,7], y∈[-2,5], z∈[-5,3]. (а) (1 балл) Найдите наименьшее возможное значение величины x2+y2. (б) (3 балла) Найдите наименьшее возможное значение величины xyz-z2. (4 баллов) Дан прямоугольник ABCD. Прямая, проходящая через вершину A и точку K на стороне BC, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка KC, если AD=60. Рисунок к задаче 8.2 (4 баллов) В ряд лежат 127 шариков, каждый из которых либо красный, либо зелёный, либо синий. Известно, что есть хотя бы один красный, хотя бы один зелёный и хотя бы один синий шарик; слева от каждого синего шарика лежит красный шарик; справа от каждого зелёного шарика лежит красный шарик. (а) (1 ба (4 баллов) Ваня выписал в ряд без пропусков друг за другом все натуральные числа от 1 до N в следующем порядке: 1 N 2 N-1 3 N-2 ldots Например, при N=5 получилось бы 15243, а при N=10 получилось бы 11029384756. При каком наименьшем N в такой записи встретится последовательность цифр 301? (4 баллов) Клетчатый прямоугольник площади S таков, что: его целиком можно разрезать по линиям сетки на прямоугольники 1 × 13; его целиком можно разрезать по линиям сетки на трёхклеточные уголки (примеры уголков изображены на рисунке ниже); Рисунок к задаче 8.5 не существует клетчатого прямоугольник (4 баллов) Числа 13, 14, 15, ldots, 25 покрашены в пять цветов: одно чёрное число, три красных, три синих, три жёлтых, три зелёных. Известно, что: все четыре суммы трёх одноцветных чисел равны; число 13 — красное, 15 — жёлтое, 23 — синее. (а) (1 балл) Найдите чёрное число. (б) (3 балла) Найдите три (4 баллов) Дан прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом A. Квадрат KLMN расположен, как на рисунке: точки K, L, N лежат на сторонах AB, BC, AC соответственно, а точка M расположена внутри треугольника ABC. Найдите длину отрезка AC, если известно, что AK=7, AN=3. Рисунок к задаче 8 (4 баллов) В ряд встали 7 гномов: Весельчак, Ворчун, Простачок, Скромник, Соня, Умник и Чихун. На каждом из них кофта с первой буквой его имени и колпак. У некоторых из них сегодня плохое настроение, и они при любой просьбе делают всё наоборот (остальные гномы делают то, что их попросят). Белоснежка 
