На доске записано натуральное число. Если у него стереть последнюю цифру (в разряде единиц), то останется ненулевое число, которое будет делиться на 20, а если первую — то на 21. Какое наименьшее число может быть записано на доске, если его вторая цифра не равна 0? (М. А. Евдокимов) Существует ли функция f, определённая на отрезке [-1; 1], которая при всех действительных x удовлетворяет равенству 2f(cos x)=f(sin x)+sin x? (Д. В. Горяшин) Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает стороны AB и AC в точках D и E соответственно. Точки X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что описанная окружность треугольника MXY касается окружност В некоторой стране есть 100 городов, которые связаны такой сетью дорог, что из любого города в любой другой можно проехать только одним способом без разворотов. Схема сети дорог известна, развилки и перекрестки сети необязательно являются городами, всякая тупиковая ветвь сети обязательно заканчивает Многогранник с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь? (М. А. Евдокимов) Существует ли такое число A, что для любого натурального n расстояние от верхней целой части An до ближайшего квадрата натурального числа всегда равно 2? (Д. Креков) Многочлен P(x)=x3+ax2+bx+c имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что c>ab. (Фольклор) В остроугольном треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности. Точка B1 симметрична точке B относительно стороны AC. Прямые AO и B1C пересекаются в точке K. Докажите, что луч KA является биссектрисой угла BKB1. (М. А. Евдокимов) Найдите наименьшее натуральное число N>9, которое не делится на 7, но если вместо любой его цифры поставить семёрку, то получится число, которое делится на 7. (М. А. Евдокимов) Существует ли такой выпуклый четырёхугольник, у которого длины всех сторон и диагоналей в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию? (О. Н. Косухин) В лаборатории есть 120 пробирок с жидкостями. В одной из них находится яд, а в другой — противоядие. Если в смесь попал яд, но не попало противоядие, она становится ядовитой, если противоядие, но не яд — целебной, а если попали и яд, и противоядие или ни то, ни другое — нейтральной. Можно ли, отправ 
