Можно ли расставить в вершинах и в серединах рёбер правильного октаэдра по одному натуральному числу от 1 до 18 так, чтобы все числа были различны, а в каждой вершине стояло число, равное сумме четырёх чисел, стоящих в серединах исходящих из этой вершины рёбер? (М. Евдокимов) Пусть I — центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и AB взяли точки K и L соответственно так, что прямая IK перпендикулярна CI, а KL параллельна BI. Докажите, что треугольник LKI — равнобедренный. (М. Евдокимов) Петя и Вася играют в следующую игру. Сначала они пишут по единице, каждый на своей доске. Далее они по очереди (начинает Петя) заменяют каждый своё число, умножая его либо на 2, либо на 3, причём после каждого хода числа, записанные на досках, должны быть различными. Пусть a — количество натуральных В гостинице a>1 этажей, на каждом этаже b одноместных номеров. На математический конгресс приехало ab математиков. Оказалось, что каждому математику на каждом этаже нравится ровно один номер. Докажите, что число способов поселить всех математиков в гостиницу так, чтобы каждому нравился его номер, чё Надя загадала многочлен P(x) с вещественными коэффициентами. За один ход Максим может назвать любой многочлен Q(x) с вещественными коэффициентами, а в ответ Надя должна сообщить Максиму следующие два факта: • достигается ли максимальное значение P+Q, и если да, то чему оно равно; • достигается ли ми В основании выпуклой четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны, а никакие две стороны не равны. Известно, что вписанные сферы тетраэдров SABC и SACD касаются. Докажите, что вписанные сферы тетраэдров SABD и SBCD касаются. (А. Доледенок) В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере 89 различных? (Жюри) Рисунок к условию задачи 1 Действительные числа a, b, c, d таковы, что a+operatorname{arctg} b>c+operatorname{arctg} d,qquad b+operatorname{arctg} a>d+operatorname{arctg} c. Докажите, что a+b>c+d. (М. Гасанов) В остроугольном треугольнике ABC высоты AD, BE и CF пересекаются в точке H. Три окружности с центрами в точках D, E, F, проходящие через H, пересекают прямые BC, CA и AB соответственно в шести различных точках. Докажите, что эти шесть точек можно разбить на две тройки так, чтобы для двух треугольник В классе, состоящем из не менее 5 учеников (девочек и мальчиков), провели контрольную работу. Известно, что во время работы каждая пара школьников пообщалась и ровно один из учеников в этой паре помог другому. В результате оказалось, что для каждого ученика среди тех, кому он помог, поровну девочек Назовём натуральное N>1 хорошим, если найдутся такие натуральные числа a1,ldots,aN, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют N(N-1)/2 последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее 10100? (А. Тертерян) 
