Заключительный этап

10–11 класс

Заключительный этап

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 1

(20 баллов) Какое наименьшее количество клеток можно вырезать из доски 6 × 6 так, чтобы из остатка нельзя было вырезать фигурку. Фигурка к задаче 1

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 2

(20 баллов) Натуральные числа a, b и c таковы, что дроби 1/a, 1/b и 1/c образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Какое наименьшее значение может принимать наибольший общий делитель чисел a и b.

Очень сложная

Теория чисел

Прогрессии

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 3

(20 баллов) На стороне BC остроугольного треугольника ABC отмечена точка P. Через точку P проведена касательная к описанной окружности треугольника ABP и из точки C на эту касательную опущен перпендикуляр, точка Q - основание этого перпендикуляра. Через точку P проведена касательная к описанной окру

Очень сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 4

(20 баллов) В школе обучается 95 одиннадцатиклассников. Каждый из них отправил в VK поздравление с Новым Годом 71 одиннадцатикласснику. Для какого наибольшего k обязательно можно выбрать группу из k одиннадцатиклассников, каждый из которых отправил поздравления остальным участникам группы?

Очень сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 5

(20 баллов) Вещественные числа x₁, x₂, ldots, x₁₆ не превосходят 3. Найдите наибольшее значение выражения (x₂³/x₁²+9) +(x₃³/x₂²+9) +ldots+frac{x₁₆³}{x₁₅

Очень сложная

Алгебра

Неравенства

СПбГУ 2026, 10-11 классы, задача 6

(20 баллов) Центры четырех шаров радиуса R находятся в вершинах квадрата со стороной 2R. Прямой круговой цилиндр касается всех четырех шаров внешним образом, его ось перпендикулярна к паре параллельных сторон квадрата и образует с плоскостью квадрата угол 30^circ. Найдите радиус цилиндра.

Очень сложная

Стереометрия

9 класс

Заключительный этап

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 1

(20 баллов) Два квадратных трехчлена f(x) и g(x) удовлетворяют соотношению (f(1)/g(1)) =(f(2)/g(2)) =3. Найдите значение f(4), если известно, что g(4)=5, f(6)=7 и g(6)=8.

Сложная

Алгебра

Выражения и преобразования

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 2

(20 баллов) В Цветочном городе ходят автобусы и троллейбусы. Одна поездка на автобусе стоит на 6 рублей дороже одной поездки на троллейбусе. Незнайка за неделю совершил 42 поездки и потратил на это 1200 рублей. Сколько раз Незнайка катался на автобусе, если известно, что на автобусе он катался более

Сложная

Алгебра

Теория чисел

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 3

(20 баллов) На доске 2026 × 2026 расставлены ладьи так, что каждая клетка доски находится под боем хотя бы одной ладьи, но каждая ладья бьет не более 20 других ладей. Для какого наименьшего n можно утверждать, что в любом клетчатом квадрате n × n находится хотя бы одна ладья. Ладья - это шахматная ф

Сложная

Комбинаторика

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 4

(20 баллов) В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняется соотношение angle ABC+angle BCDge 180^circ. Сторона BC поделена на три равные части точками L и M. Докажите, что AL+DM>AB+CD. Рисунок к задаче 4

Сложная

Планиметрия

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 5

(20 баллов) Решите в натуральных числах уравнение 5^x+12^y=z².

Сложная

Теория чисел

Уравнения

СПбГУ 2026, 9 класс, задача 6

(20 баллов) 36 школьников сыграли шахматный турнир. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию. Оказалось, что любые 20 школьников можно так рассадить за круглым столом, что каждый сидящий за столом обыграл своего соседа слева. Докажите, что из любого 21 школьника можно так выбрать 19 и рассадить их з

Сложная

Комбинаторика