(4 баллов) (а) (2 балла) Натуральное число n меньше 120. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n? (б) (2 балла) Натуральное число n меньше 90. Какой наибольший остаток может давать число 209 при делении на n? (4 баллов) Действительное число a таково, что из двух уравнений 5+|x-2|=a и 7-|2x+6|=a одно имеет ровно один корень, а другое — ровно два корня. Чему может быть равно a? Укажите все возможные варианты. (4 баллов) На доске написаны натуральные числа a, b, c, d. Известно, что среди шести сумм a+b, b+c, c+d, d+a, a+c, b+d три равны 23, а три других равны 34. (а) (1 балл) Чему равно a+b+c+d? (б) (3 балла) Чему равно наименьшее из чисел a, b, c, d? (4 баллов) Дан параллелограмм ABCD, точка M — середина стороны BC. На стороне AD нашлась точка K такая, что BK=BM и четырёхугольник KBMD является вписанным. (а) (2 балла) Чему равна длина отрезка MD, если AD=17? (б) (2 балла) Сколько градусов составляет угол KMD, если angle BAD=46circ? Ри (4 баллов) Однажды зимой 43 ребёнка бросались снежками. Каждый из них бросил ровно один снежок в кого-то другого. Известно, что: первый бросил снежок в того, кто бросил снежок во второго, второй бросил снежок в того, кто бросил снежок в третьего, ldots сорок третий бросил снежок в того, кто бросил с (4 баллов) Пару натуральных чисел (a,p) назовём хорошей, если число a3+p3 делится на a2-p2, причём a>p. (а) (1 балл) Укажите любое возможное значение a, для которого пара (a,13) — хорошая. (б) (3 балла) Найдите количество хороших пар, для которых p — прост (4 баллов) Карлсон за один приём пищи может съесть не более 5 кг варенья. Если он открывает новую банку варенья, то он обязан съесть её полностью за этот приём пищи. (Карлсон не будет открывать новую банку, если ему придётся съесть более 5 кг варенья вместе с только что съеденным.) У Малыша есть нес (4 баллов) Дан треугольник ABC. Пусть точка I — центр его вписанной окружности, а точки P и Q — середины сторон AB и AC соответственно. Оказалось, что angle PIQ+angle BIC=180circ. Найдите длину отрезка BC, если AB=20 и AC=14. Рисунок к задаче 10.8 
