(7 баллов) Можно ли число 2023 представить в виде суммы трёх натуральных чисел a, b, c таких, что a делится на b+c и b+c делится на b-c+1? (А. Кузнецов) (7 баллов) Даны различные вещественные числа a1,a2,a3 и b. Оказалось, что уравнение (x-a1)(x-a2)(x-a3)=b имеет три различных вещественных корня c1,c2,c3. Найдите корни уравнения (x+c1)(x+c (7 баллов) В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдётся школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиа (7 баллов) На доску записывают пары чисел. Сначала на доску записали пару чисел (1,2). Если на доске написана пара чисел (a,b), то на доску можно дописать пару (-a,-b), а также пару (-b,a+b). Кроме того, если на доске написаны пары чисел (a,b) и (c,d), то на доску можно дописать пару (a+c,b+d). Могл (7 баллов) В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH, медиана AM, а также отмечен центр O его описанной окружности ω. Отрезки OH и AM пересекаются в точке D, прямые AB и CD — в точке E, прямые BD и AC — в точке F. Лучи EH и FH пересекают окружность ω в точках X и Y. Докаж (7 баллов) Для натурального числа n обозначим через Sn наименьшее общее кратное всех чисел 1,2,ldots,n. Существует ли такое натуральное число m, что Sm+1=4Sm? (А. Кузнецов) (7 баллов) Назовём два числа почти равными, если они равны или отличаются друг от друга не более, чем на единицу. Верно ли, что из любого прямоугольника с натуральными сторонами можно вырезать какой-нибудь прямоугольник с натуральными сторонами, площадь которого почти равна половине площади исходног (7 баллов) Точка O — центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC. На биссектрисе угла ABC внутри треугольника ABC отмечена точка D, а на отрезке BD — точка E так, что AE=BE и BD=CD. Точки P и Q — центры окружностей, описанных около треугольников AOE и COD соответстве (7 баллов) Даны ненулевые числа a, b, c. Докажите, что выполняется неравенство |frac ba-frac bc|+|frac ca-frac cb|+|bc+1|>1. (А. Кузнецов) (7 баллов) В стране 2n городов (n — натуральное), некоторые из них соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями. Из любого города можно попасть в любой другой, возможно, с пересадками. Президент хочет разделить страну на две области и включить каждый город в одну из двух областей. При этом ави 
