(7 баллов) На прямой дороге стоят школа и дома Ани и Бори. Каждый день Аня выходит из дома в 8{:}00 и идет в школу. Однажды Боря выбежал из дома в школу в 8{:}00 и догнал Аню за 30 минут. На следующий день он выбежал в 8{:}10 и догнал Аню за 40 минут. В какое время ему надо выбежать, чтобы встретить (7 баллов) В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) проведена биссектриса CD. На основании AC отмечена точка F так, что BD=CF. Точка E выбрана таким образом, что четырехугольник CDEF — параллелограмм. Докажите, что BE=BF. (А. Кузнецов) (7 баллов) Даны квадратные трёхчлены P(x) и Q(x); обозначим pn=P(n) и qn=Q(n). Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую: на первой минуте — прямую с уравнением y=p1x+q1, на второй — с уравнением y=p2x+q2, ldots, на i- (7 баллов) В каждой клетке доски 2 × 200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одно (7 баллов) Найдите все такие пары целых чисел m и n>2, что ((n-1)!-n) · (n-2)!=m(m-2). Напоминаем, что k!=1 · 2 · ldots · k — произведение всех натуральных чисел от 1 до k. (А. Кузнецов) (7 баллов) Саша взял кусок нити. Он сложил её пополам, затем ещё раз пополам, и так 10 раз. Затем он взял ножницы и разрезал полученную конструкцию в одном месте (таким образом, он перерезал нить в 1024 местах). В итоге нить распалась на куски. Выяснилось, что длины этих кусков принимают лишь два ра (7 баллов) Пусть на доске написаны несколько целых чисел (некоторые из которых могут быть равными). Скажем, что эти числа образуют удачный набор, если их нельзя разбить на две непустые группы так, чтобы произведение суммы чисел в одной группе и суммы чисел в другой было положительным. Учитель написа (7 баллов) На столе по кругу выложили 100 двухрублёвых и N пятирублёвых монет в некотором порядке. Известно, что, выбрав из круга несколько подряд идущих монет, невозможно получить сумму ровно в 52 рубля. Найдите наибольшее возможное значение числа N. (А. Смолин) (7 баллов) На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в кот (7 баллов) Пусть M — середина стороны BC треугольника ABC. На продолжении стороны AB за точку B нашлась такая точка D, что angle ADM=angle ACM=30circ. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ACD. Найдите значение угла OBC. (А. Кузнецов) 
