(7 баллов) Действительные числа x, y, z удовлетворяют уравнениям x2+yz=y2+zx=z2+xy=2. Найти все возможные значения выражения xy+yz+zx.
Очень сложная
Алгебра
Уравнения
Всесиб 2026, 11 класс, задача 2
(7 баллов) Пусть an, n=1,2,ldots, - бесконечная последовательность положительных действительных чисел таких, что a1=1 и an+12+an+1=an, n=1,2,ldots. Докажите, что angefrac1n для всех натуральных n.
Очень сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2026, 11 класс, задача 3
(7 баллов) Докажите, что любой неравнобедренный треугольник можно разбить на три треугольника, радиусы описанных окружностей которых равны.
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2026, 11 класс, задача 4
(7 баллов) Множество X состоит из десяти различных натуральных чисел таких, что для произвольного k=2,ldots,10 сумма любых k из этих чисел делится на k. Найти минимальное значение, которое может принимать максимальное из этих чисел.
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2026, 11 класс, задача 5
(7 баллов) В таблице размера 8 на 8 клеток отмечены некоторые 8 клеток так, что в каждой строке и каждом столбце отмечена ровно одна клетка. Кроме того, в некоторых 8 клетках таблицы расставлены 8 фишек так, что в каждой строке и каждом столбце стоит ровно одна фишка. За один ход можно переставить о
(7 баллов) На доске 8 на 8 произвольным образом отмечены 12 клеток. Докажите, что всегда можно выбрать некоторые 4 горизонтали и некоторые 4 вертикали так, чтобы они содержали все отмеченные клетки.
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2026, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Сумма некоторого составного натурального числа и его максимального делителя, отличного от 1 и самого числа, равна pk для некоторого простого числа p и kge 2. Найти все возможные значения p.
Очень сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2026, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Отрезок разделен 19 точками на 20 частей. Каждый из 20 отрезков разбиения нужно сделать стрелкой так, чтобы стрелок, указывающих налево, было столько же, сколько указывающих направо, и для каждой стрелки количество других стрелок, на которые она указывает, отличалось от аналогичного колич
Очень сложная
Комбинаторика
Всесиб 2026, 10 класс, задача 4
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за I центр вписанной в него окружности, а за P - точку пересечения прямой, зеркально симметричной прямой AB относительно биссектрисы CI и прямой, зеркально симметричной прямой BC относительно биссектрисы AI. Докажите, что PI перпендикулярна сторо
Очень сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2026, 10 класс, задача 5
(7 баллов) Найти все тройки действительных чисел (a,b,c), удовлетворяющих системе уравнений a(b2+c)=c(c+ab), b(c2+a)=a(a+bc), c(a2+b)=b(b+ca).
(7 баллов) Для действительных x, y выполнено x2+xle y. Докажите, что y2+yge x.
Сложная
Алгебра
Неравенства
Всесиб 2026, 9 класс, задача 2
(7 баллов) В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD>BC точка E - основание перпендикуляра из вершины B на основание AD, а M - середина диагонали BD. Докажите, что прямая EM параллельна диагонали AC.
Сложная
Геометрия
Планиметрия
Всесиб 2026, 9 класс, задача 3
(7 баллов) В каждой клетке прямоугольной таблицы записано некоторое натуральное число. Для каждой клетки число, стоящее в ней, равно количеству различных значений чисел в клетках, находящихся в той же строке или том же столбце (включая саму клетку), что и данная. Найдите все таблицы с этим свойством
Сложная
Комбинаторика
Всесиб 2026, 9 класс, задача 4
(7 баллов) Найдите все пары простых чисел (p,q) такие, что p3+p=q2+q.
Сложная
Алгебра
Теория чисел
Всесиб 2026, 9 класс, задача 5
(7 баллов) В группе 20 учащихся, каждый из которых дружит ровно с тремя другими. Некоторые пятеро из них 1 марта купили билет на концерт 1 апреля. Дальше в каждый следующий день, начиная со 2 марта, ровно один из тех, кто еще не купил билет, но, как минимум двое из его друзей к этому моменту уже куп
