Всесиб 2026, 10 класс, задача 1
(7 баллов) На доске 8 на 8 произвольным образом отмечены 12 клеток. Докажите, что всегда можно выбрать некоторые 4 горизонтали и некоторые 4 вертикали так, чтобы они содержали все отмеченные клетки.Всесиб 2026, 10 класс, задача 2
(7 баллов) Сумма некоторого составного натурального числа и его максимального делителя, отличного от 1 и самого числа, равна pk для некоторого простого числа p и kge 2. Найти все возможные значения p.Всесиб 2026, 10 класс, задача 3
(7 баллов) Отрезок разделен 19 точками на 20 частей. Каждый из 20 отрезков разбиения нужно сделать стрелкой так, чтобы стрелок, указывающих налево, было столько же, сколько указывающих направо, и для каждой стрелки количество других стрелок, на которые она указывает, отличалось от аналогичного количВсесиб 2026, 10 класс, задача 4
(7 баллов) В остроугольном треугольнике ABC обозначим за I центр вписанной в него окружности, а за P - точку пересечения прямой, зеркально симметричной прямой AB относительно биссектрисы CI и прямой, зеркально симметричной прямой BC относительно биссектрисы AI. Докажите, что PI перпендикулярна стороВсесиб 2026, 10 класс, задача 5
(7 баллов) Найти все тройки действительных чисел (a,b,c), удовлетворяющих системе уравнений a(b2+c)=c(c+ab), b(c2+a)=a(a+bc), c(a2+b)=b(b+ca).
