Задания Ломоносов — 9 класс — 2019/20

Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада «Ломоносов»» для 9 класса за 2019/20 учебный год. В выбранном комплекте: 10 задач и 1 файл для подготовки.

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 1

(2 баллов) Средний возраст сотрудников фирмы, состоящей из 13 человек, составляет 35 лет. В фирму приняли на работу нового сотрудника, после чего средний возраст сотрудников составил 34 года. Найдите возраст нового сотрудника.
Очень простая
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 2

(2 баллов) На стороне BC треугольника ABC выбрана точка D так, что angle BAD=50circ, angle CAD=20circ и AD=BD. Найдите cosangle C.
Простая
Планиметрия

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 7–8 классы, задача 4; 9 класс, задача 3

(14 баллов — 7–8 классы; 12 баллов — 9 класс) Ластик, 3 ручки и 2 фломастера стоят 240 рублей, а 2 ластика, 4 фломастера и 5 ручек стоят 440 рублей. Какова общая стоимость (в рублях) 3 ластиков, 4 ручек и 6 фломастеров?
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 4; 10–11 классы, задача 5

(14 баллов — 7–8 классы; 12 баллов — 9–11 классы) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35circ, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 5

(12 баллов) Уравнение x2+5x+1=0 имеет корни x1 и x2. Найдите значение выражения (frac{x1√6}{1+x2})2+(frac{x2√6}{1+x1})2.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 6; 10–11 классы, задача 4

(12 баллов) Из пункта A в пункт B в 13{:}00 одновременно выехали автобус и велосипедист. После прибытия в пункт B автобус, не задерживаясь, поехал обратно и встретил велосипедиста в пункте C в 13{:}10. Вернувшись в пункт A, автобус снова без задержки направился в пункт B и догнал велосипедиста в пун
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 10

(12 баллов) Числа a и b таковы, что многочлен x4+x3+2x2+ax+b является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 8

(12 баллов) В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Найдите площадь треугольника, если известно, что AL=2, BL=3√(10) и CL=3.
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 7–8 классы, задача 8; 9 класс, задача 9

(14 баллов — 7–8 классы; 12 баллов — 9 класс) Целеустремлённый паук хочет доползти до мухи, попавшей в его паутину (см. рисунок). При этом ползти он может только вверх и вправо по нитям паутины. Сколько есть различных способов у паука достигнуть свою цель? Паук и муха на паутине
Простая
Комбинаторика

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 10

(12 баллов) Найдите наименьшее значение функции f(x)=x2+3x+frac6x+frac4{x2}-1 на луче x>0.
Сложная
Алгебра