У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны ln 2, ln 3, ln 4, ldots, ln 20, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах? (М. Евдокимов) В остроугольном треугольнике ABC проведена высота AH. Точки M и N -- середины отрезков BH и CH. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек M и N на прямые AB и AC соответственно, равноудалена от точек B и C. (И. Михайлов) Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы н Дан многочлен степени nge 1 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули всех коэффициентов этого многочлена не превосходят 2. (Л. Шатунов) В тетраэдре ABCD скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка AHA, где HA -- точка пересечения высот грани BCD, провели прямую hA перпендикулярно плоскости BCD. Аналогичным образом определили точки HB, HC, HD и построили Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты -- до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мел Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции f(x)=frac1{2x+1}? (Д. В. Горяшин) Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60% от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпи Докажите, что если при n∈mathbb N число 2+2√(12n2+1) целое, то оно -- точный квадрат. (Т. А. Гарманова) В остроугольном треугольнике ABC высоты AHA, BHB и CHC пересекаются в точке H. Через точки, в которых окружность радиуса HHA с центром H пересекает отрезки BH и CH, проведена прямая ellA. Аналогично проведены прямые ellB и ellC Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску 100 × 100 на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый -- на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из р 
