(10 баллов) В магазине продают три вида ручек: по 14 рублей, по 15 рублей и по 16 рублей. Вася купил ручек ровно на 170 рублей. Сколькими способами это можно было сделать?
(10 баллов) Даны два натуральных числа. Большее из них равно квадрату их разности, а меньшее из них в 8 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите наименьшее общее кратное этих двух чисел.
(10 баллов) Четыре купца Арсений, Богдан, Вакула и Гаврила получили из казны 50 золотых червонцев. Они их решили разделить так, чтобы каждому досталось нечётное количество червонцев. Сколько есть разных способов дележа?
(15 баллов) Найдите количество натуральных n<2023, при каждом из которых среди корней уравнения x-√x=nx-√(nx) имеется положительное рациональное число.
(15 баллов) В треугольной пирамиде DABC, в основании которой лежит остроугольный треугольник ABC, боковая грань DAC перпендикулярна основанию, рёбра DB и AC перпендикулярны, а расстояние между проекциями вершины D пирамиды на рёбра AB и BC равно 7. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 1, а р
(15 баллов — 10 класс; 10 баллов — 11 класс) В треугольнике ABC angle BAC=36circ, BC=10√3, M — точка пересечения медиан, и angle BMC=144circ. Найдите длину медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A.
