Задания Ломоносов — 11 класс — 2019/20

Оригинальные задания олимпиады «Олимпиада «Ломоносов»» для 11 класса за 2019/20 учебный год. В выбранном комплекте: 10 задач и 1 файл для подготовки.

PDF
Задания, решения и критерии

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 1

(2 баллов) Найдите сумму квадратов двух чисел, если известно, что их среднее арифметическое равно 8, а среднее геометрическое равно 2√5.
Очень простая
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 2

(2 баллов) Найти наибольшее значение x, удовлетворяющее неравенству (6+5x+x2)√(2x2-x3-x)≤0.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 3

(12 баллов) Вычислите sin(α+β), если sinα+cosβ=frac14 и cosα+sinβ=-frac85.
Простая
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 6; 10–11 классы, задача 4

(12 баллов) Из пункта A в пункт B в 13{:}00 одновременно выехали автобус и велосипедист. После прибытия в пункт B автобус, не задерживаясь, поехал обратно и встретил велосипедиста в пункте C в 13{:}10. Вернувшись в пункт A, автобус снова без задержки направился в пункт B и догнал велосипедиста в пун
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 7–8 классы, задача 5; 9 класс, задача 4; 10–11 классы, задача 5

(14 баллов — 7–8 классы; 12 баллов — 9–11 классы) В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 35circ, отрезки BB1 и CC1 — высоты, точки B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B1C2 и C1B2
Средняя
Планиметрия

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 6

(12 баллов) Решите уравнение 5√(x3+3x2+3x+1)=√((54√((x+1)5))3). В ответ запишите корень, если он один, или сумму корней, если их несколько.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 7

(12 баллов) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения (sinπ x-cos2π x/(sinπ x-1)2+cos2π x-1) =0.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 8

(12 баллов) Среди первых ста элементов арифметической прогрессии 3,7,11,ldots найдите те, которые являются также элементами арифметической прогрессии 2,9,16,ldots В ответе укажите сумму найденных чисел.
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 10-11 класс, задача 9

(12 баллов) Найдите наименьшее значение функции f(x)=operatorname{tg}2x+3operatorname{tg}x+6operatorname{ctg}x+4operatorname{ctg}2x-1 на интервале (0;fracπ2).
Средняя
Алгебра

Ломоносов, 2020, отборочный этап, 9 класс, задача 7; 10–11 классы, задача 10

(12 баллов) Числа a и b таковы, что многочлен x4+x3+2x2+ax+b является квадратом некоторого другого многочлена. Найдите b.
Средняя
Алгебра